Puisque $P$ est l'état stable, alors $P=P\times M$.
\begin{align*}
P\times M &= \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\times
\begin{pmatrix}
(( a | decimal )) & (( (1-a) | decimal )) \\
(( (1-b) | decimal )) & (( b | decimal )) \\
\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix}
(( a | decimal )) x + (( (1-b) | decimal )) y & (( (1-a) | decimal )) x + (( b | decimal )) y
\end{pmatrix}
\end{align*}
Or $\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}=P=P\times M$, donc les coefficients des matrices sont deux à deux égaux, donc $x=(( a | decimal )) x +(((1-b) | decimal )) y$.
D'autre part, puisque $P$ est un état probabiliste, alors $x+y=1$, donc $y=1-x$. Donc, en remplaçant $y$ par $1-x$ dans l'équation précédente, on obtient :
\begin{align*}
x &= (( a | decimal )) x + (( (1-b) | decimal )) (1-x) \\
x &= (( a | decimal )) x + (( (1-b) | decimal )) - (( (1-b) | decimal ))x\\
x-(( a | decimal )) x +(( (1-b) | decimal ))x &= (( (1-b) | decimal ))\\
Puisque $P$ est l'état stable, alors $P=P\times M$.
\begin{align*}
P\times M &= \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\times
\begin{pmatrix}
0,95 & 0,05 \\
0,45 & 0,55 \\
\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix}
0,95 x + 0,45 y & 0,05 x + 0,55 y
\end{pmatrix}
\end{align*}
Or $\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}=P=P\times M$, donc les coefficients des matrices sont deux à deux égaux, donc $x=0,95 x + 0,45 y$.
D'autre part, puisque $P$ est un état probabiliste, alors $x+y=1$, donc $y=1-x$. Donc, en remplaçant $y$ par $1-x$ dans l'équation précédente, on obtient :
\begin{align*}
x &= 0,95 x + 0,45 (1-x) \\
x &= 0,95 x + 0,45 - 0,45x\\
x-0,95 x +0,45x &= 0,45\\
(1-0,95+0,45)x &= 0,45\\
0,5 x &= 0,45\\
x &= \frac{0,45}{0,5}\\
x &= 0,9
\end{align*}
Enfin, puisque $y=1-x$, alors $y=1-0,9=0,1$.
L'unique état stable de ce graphe est donc $\begin{pmatrix}