Commit 8cd17269 authored by Louis's avatar Louis
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......@@ -124,7 +124,7 @@ Le tableau de variations est donc :
(* if a > 0 *) les premier et dernier intervalles (* else *) l'intervalle central (* endif *).
Les solutions sont donc :
(* if a > 0 *)
\[ x\in\interval[open left, scaled]{-\infty; (( (x1, x2)|min|facteur ))} \cup \interval[open right, scaled]{(( (x1, x2)|max|facteur ))}{+\infty} \]
\[ x\in\interval[open left, scaled]{-\infty}{(( (x1, x2)|min|facteur ))} \cup \interval[open right, scaled]{(( (x1, x2)|max|facteur ))}{+\infty} \]
(* else *)
\[ x\in\interval[scaled]{(( (x1, x2)|min|facteur ))}{(( (x1, x2)|max|facteur ))} \]
(* endif *)
......
\exercice*
On considère le trinôme du second degré $f: x\mapsto \numprint{2} x^2 -\numprint{4}x -\numprint{70}$.
On considère le trinôme du second degré $f: x\mapsto \numprint{2}\,x^2 -\numprint{4}\,x -\numprint{70}$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Soit $x\in\mathbb{R}$. Alors :
\begin{align*}
\numprint{2} \left( x +\numprint{5} \right) \left( x -\numprint{7} \right)
&= \numprint{2} \left(x\times x +\numprint{5}\times x -\numprint{7}\times x +\numprint{5}\times \left(\numprint{-7}\right) \right) \\
&= \numprint{2} \left(x^2 -\numprint{2}x -\numprint{35}\right) \\
&= \numprint{2} x^2 +\numprint{2}\times\left(\numprint{-2}\right)x +\numprint{2}\times\left(\numprint{-35}\right) \\
&= \numprint{2} x^2 -\numprint{4}x -\numprint{70}\\
&= f(x)
\numprint{2} \,\left( x +\numprint{5} \right) \, \left( x -\numprint{7} \right)
&= \numprint{2} \,\left(x\times x +\numprint{5}\times x -\numprint{7}\times x +\numprint{5}\times \left(\numprint{-7}\right) \right) \\
&= \numprint{2} \,\left(x^2 -\numprint{2}\,x -\numprint{35}\right) \\
&= \numprint{2}\,x^2 +\numprint{2}\times\left(\numprint{-2}\,x\right) +\numprint{2}\times\left(\numprint{-35}\right) \\
&= \numprint{2}\,x^2 -\numprint{4}\,x -\numprint{70}\\
&= f\,(x)
\end{align*}
\item Soit $x\in\mathbb{R}$. Alors :
\begin{align*}
\numprint{2}\left( x -\numprint{1} \right)^2 -\numprint{72}
&= \numprint{2}\left( x^2 -\numprint{2}\times \numprint{1} \times x + \numprint{1}^2\right) -\numprint{72}\\
&= \numprint{2}\left( x^2 -\numprint{2}x + \numprint{1}\right) -\numprint{72}\\
&= \numprint{2}x^2 +\numprint{2}\times \left(\numprint{-2}x\right) +\numprint{2}\times \numprint{1} -\numprint{72}\\
&= \numprint{2}x^2 -\numprint{4}x +\numprint{2} -\numprint{72}\\
&= \numprint{2}x^2 -\numprint{4}x -\numprint{70}\\
&= f(x)
\numprint{2}\,\left( x -\numprint{1} \right)^2 -\numprint{72}
&= \numprint{2}\,\left( x^2 -\numprint{2}\times \numprint{1} \times x + \numprint{1}^2\right) -\numprint{72}\\
&= \numprint{2}\,\left( x^2 -\numprint{2}\,x + \numprint{1}\right) -\numprint{72}\\
&= \numprint{2}\,x^2 +\numprint{2}\times \left(\numprint{-2}\,x\right) +\numprint{2}\times \numprint{1} -\numprint{72}\\
&= \numprint{2}\,x^2 -\numprint{4}\,x +\numprint{2} -\numprint{72}\\
&= \numprint{2}\,x^2 -\numprint{4}\,x -\numprint{70}\\
&= f\,(x)
\end{align*}
\end{enumerate}
\item Résoudre les équations suivantes en choisissant la forme appropriée de $f$.
\begin{enumerate}
\item En prenant la forme factorisée, l'équation $f(x)=0$ est équivalente à l'équation produit nul $\numprint{2}(x +\numprint{5} )(x -\numprint{7} ) = 0$. Donc :
\item En prenant la forme factorisée, l'équation $f\,(x)=0$ est équivalente à l'équation produit nul $\numprint{2}\,(x +\numprint{5} )\,(x -\numprint{7} ) = 0$. Donc :
\begin{align*}
x +\numprint{5}=0 &\text{ ou } x -\numprint{7}=0 \\
x=\numprint{-5} &\text{ ou } x=\numprint{7}
\end{align*}
Il y a donc deux solutions : $\numprint{-5}$ et $\numprint{7}$.
\item $f(x)=\numprint{-70}$ On remarque que la forme développée contient la constante $\numprint{-70}$ : celles-ci devraient donc s'annuler, pour simplifier notre résolution.
\item $f\,(x)=\numprint{-70}$ On remarque que la forme développée contient la constante $\numprint{-70}$ : celles-ci devraient donc s'annuler, pour simplifier notre résolution.
\begin{align*}
f(x) &= \numprint{-70} \\
\numprint{2}x^2 -\numprint{4}x -\numprint{70} &= \numprint{-70} \\
\numprint{2}x^2 -\numprint{4}x -\numprint{70} +\numprint{70} &= \numprint{-70} +\numprint{70} \\
\numprint{2}x^2 -\numprint{4}x &= 0 \\
f\,(x) &= \numprint{-70} \\
\numprint{2}\,x^2 -\numprint{4}\,x -\numprint{70} &= \numprint{-70} \\
\numprint{2}\,x^2 -\numprint{4}\,x -\numprint{70} +\numprint{70} &= \numprint{-70} +\numprint{70} \\
\numprint{2}\,x^2 -\numprint{4}\,x &= 0 \\
\end{align*}
Nous pouvons maintenant factoriser le membre de gauche par $x$, ce qui nous donnera une équation produit nul.
\begin{align*}
\numprint{2}x^2 -\numprint{4}x &= 0 \\
\numprint{2}x\times x -\numprint{4}\times x &= 0 \\
x\left( \numprint{2}x -\numprint{4} \right) &= 0 \\
\numprint{2}\,x^2 -\numprint{4}\,x &= 0 \\
\numprint{2}\,x\times x -\numprint{4}\times x &= 0 \\
x\,\left( \numprint{2}\,x -\numprint{4} \right) &= 0 \\
\end{align*}
\begin{align*}
x =0 &\text{ ou } \numprint{2}x -\numprint{4}=0 \\
x =0 &\text{ ou } \numprint{2}x =\numprint{4} \\
x =0 &\text{ ou } \numprint{2}\,x -\numprint{4}=0 \\
x =0 &\text{ ou } \numprint{2}\,x =\numprint{4} \\
x =0 &\text{ ou } x = \frac{\numprint{4}}{\numprint{2}} \\
x =0 &\text{ ou } x = \numprint{2} \\
\end{align*}
Il y a donc deux solutions : $x=0$ et $x=\numprint{2}$.
\item $f(x)=\numprint{-72}$ On remarque que la forme canonique contient la constante $\numprint{-72}$ : en l'utilisant, elles devraient se simplifier.
\item $f\,(x)=\numprint{-72}$ On remarque que la forme canonique contient la constante $\numprint{-72}$ : en l'utilisant, elles devraient se simplifier.
\begin{align*}
f(x) &= \numprint{-72} \\
\numprint{2} \left( x -\numprint{1} \right)^2 -\numprint{72} &= \numprint{-72}\\
\numprint{2} \left( x -\numprint{1} \right)^2 -\numprint{72} +\numprint{72} &= \numprint{-72} +\numprint{72}\\
\numprint{2} \left( x -\numprint{1} \right)^2 &= 0\\
f\,(x) &= \numprint{-72} \\
\numprint{2} \,\left( x -\numprint{1} \right)^2 -\numprint{72} &= \numprint{-72}\\
\numprint{2} \,\left( x -\numprint{1} \right)^2 -\numprint{72} +\numprint{72} &= \numprint{-72} +\numprint{72}\\
\numprint{2} \,\left( x -\numprint{1} \right)^2 &= 0\\
\left( x -\numprint{1} \right)^2 &= 0\\
\end{align*}
Or $0$ est le seul nombre dont le carré est nul, donc l'équation précédente est équivalente à :
......@@ -75,7 +75,7 @@ Il y a donc une unique solution $x=\numprint{1}$.
donc la fonction est
décroissante puis croissante .
De plus, l'absisse du sommet est $-\frac{\numprint{-4}}{2\times\numprint{2}}$, soit $\numprint{1}$, et
$f( \numprint{1} )=\numprint{2}\times\numprint{1}^2 -\numprint{4}\times \numprint{1} -\numprint{70}=\numprint{-72}$.
$f\,( \numprint{1} )=\numprint{2}\times\numprint{1}^2 -\numprint{4}\times \numprint{1} -\numprint{70}=\numprint{-72}$.
Le tableau de variations est donc :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
......@@ -85,7 +85,7 @@ Le tableau de variations est donc :
\tkzTabVar{+/, -/$\numprint{-72}$/, +/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item \emph{Dresser le tableau de signes de $f$.} Construisons un tableau de signes en utilisant la forme factorisée $f(x)=\numprint{2} \left(x +\numprint{5}\right) \left(x -\numprint{7}\right)$.
\item \emph{Dresser le tableau de signes de $f$.} Construisons un tableau de signes en utilisant la forme factorisée $f\,(x)=\numprint{2} \,\left(x +\numprint{5}\right) \, \left(x -\numprint{7}\right)$.
\begin{itemize}
\item Le premier facteur $x +\numprint{5}$ est une fonction affine, de coefficient directeur $a=1$ positif, et d'ordonnée à l'origine $b=\numprint{5}$. Elle est donc négative, puis positive, et change de signe en $-\frac{b}{a}=-\frac{\numprint{5}}{1}=\numprint{-5}$.
......@@ -99,7 +99,7 @@ Le tableau de variations est donc :
$\numprint{2}$/1,
$x +\numprint{5}$/1,
$x -\numprint{7}$/1,
$f(x)=\numprint{2}\left( x +\numprint{5} \right) \left( x -\numprint{7} \right)$/1.5
$f\,(x)=\numprint{2}\,\left( x +\numprint{5} \right)\,\left( x -\numprint{7} \right)$/1.5
}
{$-\infty$, $\numprint{-5}$, $\numprint{7}$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, +, t, +, t, +}
......@@ -111,10 +111,10 @@ Le tableau de variations est donc :
\end{enumerate}
\item Répondre aux questions suivantes en utilisant le tableau de signes ou de variations.
\begin{enumerate}
\item \emph{Résoudre $f(x)\geq0$.} En regardant la dernière ligne du tableau de signes, on observe que $f$ est positive sur
\item \emph{Résoudre $f\,(x)\geqslant0$.} En regardant la dernière ligne du tableau de signes, on observe que $f$ est positive sur
les premier et dernier intervalles .
Les solutions sont donc :
\[x\in\left]-\infty; \numprint{-5}\right] \cup \left[ \numprint{7}; +\infty\right[\]
\[ x\in\interval[open left, scaled]{-\infty}{\numprint{-5}} \cup \interval[open right, scaled]{\numprint{7}}{+\infty} \]
\item \emph{Quel est l'extremum de $f$ ? Est-ce un maximum ou un minimum ? Pour quelle valeur de $x$ est-il atteint ?} On lit sur le tableau de variations que la plus
petite valeur prise par $f$ est $\numprint{-72}$. Le
minimum de $f$ est donc $\numprint{-72}$, et il est atteint pour $x=\numprint{1}$.
......
\exercice
On considère le trinôme du second degré $f: x\mapsto \numprint{2} x^2 \numprint{-4}x -\numprint{70}$.
On considère le trinôme du second degré $f: x\mapsto \numprint{2}\,x^2 -\numprint{4}\,x -\numprint{70}$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a : $f(x)=\numprint{2} \left( x +\numprint{5} \right) \left( x -\numprint{7} \right) $.
\item Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a : $f(x)=\numprint{2}\left( x -\numprint{1} \right)^2 -\numprint{72}$.
\item Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a : $f\,(x)=\numprint{2} \,\left( x +\numprint{5} \right) \, \left( x -\numprint{7} \right) $.
\item Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a : $f\,(x)=\numprint{2} \,\left( x -\numprint{1} \right)^2 -\numprint{72}$.
\end{enumerate}
\item Résoudre les équations suivantes en choisissant la forme appropriée de $f$.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=0$
\item $f(x)=\numprint{-70}$
\item $f(x)=\numprint{-72}$
\item $f\,(x)=0$
\item $f\,(x)=\numprint{-70}$
\item $f\,(x)=\numprint{-72}$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
......@@ -20,7 +20,7 @@ On considère le trinôme du second degré $f: x\mapsto \numprint{2} x^2 \numpri
\end{enumerate}
\item Répondre aux questions suivantes en utilisant le tableau de signes ou de variations.
\begin{enumerate}
\item Résoudre $f(x)\geq0$.
\item Résoudre $f(x)\geqslant0$.
\item Quel est l'extremum de $f$ ? Est-ce un maximum ou un minimum ? Pour quelle valeur de $x$ est-il atteint ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\ No newline at end of file
\exercice*
On considère le trinôme du second degré $f: x\mapsto \numprint{-2} x^2 -\numprint{6}x +\numprint{80}$.
On considère le trinôme du second degré $f: x\mapsto \numprint{-2}\,x^2 -\numprint{6}\,x +\numprint{80}$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Soit $x\in\mathbb{R}$. Alors :
\begin{align*}
\numprint{-2} \left( x -\numprint{5} \right) \left( x +\numprint{8} \right)
&= \numprint{-2} \left(x\times x -\numprint{5}\times x +\numprint{8}\times x -\numprint{5}\times \numprint{8} \right) \\
&= \numprint{-2} \left(x^2 +\numprint{3}x -\numprint{40}\right) \\
&= \numprint{-2} x^2 -\numprint{2}\times\numprint{3}x -\numprint{2}\times\left(\numprint{-40}\right) \\
&= \numprint{-2} x^2 -\numprint{6}x +\numprint{80}\\
&= f(x)
\numprint{-2} \,\left( x -\numprint{5} \right) \, \left( x +\numprint{8} \right)
&= \numprint{-2} \,\left(x\times x -\numprint{5}\times x +\numprint{8}\times x -\numprint{5}\times \numprint{8} \right) \\
&= \numprint{-2} \,\left(x^2 +\numprint{3}\,x -\numprint{40}\right) \\
&= \numprint{-2}\,x^2 -\numprint{2}\times\numprint{3}\,x -\numprint{2}\times\left(\numprint{-40}\right) \\
&= \numprint{-2}\,x^2 -\numprint{6}\,x +\numprint{80}\\
&= f\,(x)
\end{align*}
\item Soit $x\in\mathbb{R}$. Alors :
\begin{align*}
\numprint{-2}\left( x +\numprint{1.5} \right)^2 +\numprint{84.5}
&= \numprint{-2}\left( x^2 +\numprint{2}\times \numprint{1.5} \times x + \numprint{1.5}^2\right) +\numprint{84.5}\\
&= \numprint{-2}\left( x^2 +\numprint{3}x + \numprint{2.25}\right) +\numprint{84.5}\\
&= \numprint{-2}x^2 -\numprint{2}\times \numprint{3}x -\numprint{2}\times \numprint{2.25} +\numprint{84.5}\\
&= \numprint{-2}x^2 -\numprint{6}x -\numprint{4.5} +\numprint{84.5}\\
&= \numprint{-2}x^2 -\numprint{6}x +\numprint{80}\\
&= f(x)
\numprint{-2}\,\left( x +\numprint{1.5} \right)^2 +\numprint{84.5}
&= \numprint{-2}\,\left( x^2 +\numprint{2}\times \numprint{1.5} \times x + \numprint{1.5}^2\right) +\numprint{84.5}\\
&= \numprint{-2}\,\left( x^2 +\numprint{3}\,x + \numprint{2.25}\right) +\numprint{84.5}\\
&= \numprint{-2}\,x^2 -\numprint{2}\times \numprint{3}\,x -\numprint{2}\times \numprint{2.25} +\numprint{84.5}\\
&= \numprint{-2}\,x^2 -\numprint{6}\,x -\numprint{4.5} +\numprint{84.5}\\
&= \numprint{-2}\,x^2 -\numprint{6}\,x +\numprint{80}\\
&= f\,(x)
\end{align*}
\end{enumerate}
\item Résoudre les équations suivantes en choisissant la forme appropriée de $f$.
\begin{enumerate}
\item En prenant la forme factorisée, l'équation $f(x)=0$ est équivalente à l'équation produit nul $\numprint{-2}(x -\numprint{5} )(x +\numprint{8} ) = 0$. Donc :
\item En prenant la forme factorisée, l'équation $f\,(x)=0$ est équivalente à l'équation produit nul $\numprint{-2}\,(x -\numprint{5} )\,(x +\numprint{8} ) = 0$. Donc :
\begin{align*}
x -\numprint{5}=0 &\text{ ou } x +\numprint{8}=0 \\
x=\numprint{5} &\text{ ou } x=\numprint{-8}
\end{align*}
Il y a donc deux solutions : $\numprint{5}$ et $\numprint{-8}$.
\item $f(x)=\numprint{80}$ On remarque que la forme développée contient la constante $\numprint{80}$ : celles-ci devraient donc s'annuler, pour simplifier notre résolution.
\item $f\,(x)=\numprint{80}$ On remarque que la forme développée contient la constante $\numprint{80}$ : celles-ci devraient donc s'annuler, pour simplifier notre résolution.
\begin{align*}
f(x) &= \numprint{80} \\
\numprint{-2}x^2 -\numprint{6}x +\numprint{80} &= \numprint{80} \\
\numprint{-2}x^2 -\numprint{6}x +\numprint{80} -\numprint{80} &= \numprint{80} -\numprint{80} \\
\numprint{-2}x^2 -\numprint{6}x &= 0 \\
f\,(x) &= \numprint{80} \\
\numprint{-2}\,x^2 -\numprint{6}\,x +\numprint{80} &= \numprint{80} \\
\numprint{-2}\,x^2 -\numprint{6}\,x +\numprint{80} -\numprint{80} &= \numprint{80} -\numprint{80} \\
\numprint{-2}\,x^2 -\numprint{6}\,x &= 0 \\
\end{align*}
Nous pouvons maintenant factoriser le membre de gauche par $x$, ce qui nous donnera une équation produit nul.
\begin{align*}
\numprint{-2}x^2 -\numprint{6}x &= 0 \\
\numprint{-2}x\times x -\numprint{6}\times x &= 0 \\
x\left( \numprint{-2}x -\numprint{6} \right) &= 0 \\
\numprint{-2}\,x^2 -\numprint{6}\,x &= 0 \\
\numprint{-2}\,x\times x -\numprint{6}\times x &= 0 \\
x\,\left( \numprint{-2}\,x -\numprint{6} \right) &= 0 \\
\end{align*}
\begin{align*}
x =0 &\text{ ou } \numprint{-2}x -\numprint{6}=0 \\
x =0 &\text{ ou } \numprint{-2}x =\numprint{6} \\
x =0 &\text{ ou } \numprint{-2}\,x -\numprint{6}=0 \\
x =0 &\text{ ou } \numprint{-2}\,x =\numprint{6} \\
x =0 &\text{ ou } x = \frac{\numprint{6}}{\numprint{-2}} \\
x =0 &\text{ ou } x = \numprint{-3} \\
\end{align*}
Il y a donc deux solutions : $x=0$ et $x=\numprint{-3}$.
\item $f(x)=\numprint{84.5}$ On remarque que la forme canonique contient la constante $\numprint{84.5}$ : en l'utilisant, elles devraient se simplifier.
\item $f\,(x)=\numprint{84.5}$ On remarque que la forme canonique contient la constante $\numprint{84.5}$ : en l'utilisant, elles devraient se simplifier.
\begin{align*}
f(x) &= \numprint{84.5} \\
\numprint{-2} \left( x +\numprint{1.5} \right)^2 +\numprint{84.5} &= \numprint{84.5}\\
\numprint{-2} \left( x +\numprint{1.5} \right)^2 +\numprint{84.5} -\numprint{84.5} &= \numprint{84.5} -\numprint{84.5}\\
\numprint{-2} \left( x +\numprint{1.5} \right)^2 &= 0\\
f\,(x) &= \numprint{84.5} \\
\numprint{-2} \,\left( x +\numprint{1.5} \right)^2 +\numprint{84.5} &= \numprint{84.5}\\
\numprint{-2} \,\left( x +\numprint{1.5} \right)^2 +\numprint{84.5} -\numprint{84.5} &= \numprint{84.5} -\numprint{84.5}\\
\numprint{-2} \,\left( x +\numprint{1.5} \right)^2 &= 0\\
\left( x +\numprint{1.5} \right)^2 &= 0\\
\end{align*}
Or $0$ est le seul nombre dont le carré est nul, donc l'équation précédente est équivalente à :
......@@ -75,7 +75,7 @@ Il y a donc une unique solution $x=\numprint{-1.5}$.
donc la fonction est
croissante puis décroissante .
De plus, l'absisse du sommet est $-\frac{\numprint{-6}}{2\times\left(\numprint{-2}\right)}$, soit $\numprint{-1.5}$, et
$f( \numprint{-1.5} )=\numprint{-2}\times\left(\numprint{-1.5}\right)^2 -\numprint{6}\times \left(\numprint{-1.5}\right) +\numprint{80}=\numprint{84.5}$.
$f\,( \numprint{-1.5} )=\numprint{-2}\times\left(\numprint{-1.5}\right)^2 -\numprint{6}\times \left(\numprint{-1.5}\right) +\numprint{80}=\numprint{84.5}$.
Le tableau de variations est donc :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
......@@ -85,7 +85,7 @@ Le tableau de variations est donc :
\tkzTabVar{-/, +/$\numprint{84.5}$/, -/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item \emph{Dresser le tableau de signes de $f$.} Construisons un tableau de signes en utilisant la forme factorisée $f(x)=\numprint{-2} \left(x -\numprint{5}\right) \left(x +\numprint{8}\right)$.
\item \emph{Dresser le tableau de signes de $f$.} Construisons un tableau de signes en utilisant la forme factorisée $f\,(x)=\numprint{-2} \,\left(x -\numprint{5}\right) \, \left(x +\numprint{8}\right)$.
\begin{itemize}
\item Le premier facteur $x -\numprint{5}$ est une fonction affine, de coefficient directeur $a=1$ positif, et d'ordonnée à l'origine $b=\numprint{-5}$. Elle est donc négative, puis positive, et change de signe en $-\frac{b}{a}=-\frac{\numprint{-5}}{1}=\numprint{5}$.
......@@ -99,7 +99,7 @@ Le tableau de variations est donc :
$\numprint{-2}$/1,
$x -\numprint{5}$/1,
$x +\numprint{8}$/1,
$f(x)=\numprint{-2}\left( x -\numprint{5} \right) \left( x +\numprint{8} \right)$/1.5
$f\,(x)=\numprint{-2}\,\left( x -\numprint{5} \right)\,\left( x +\numprint{8} \right)$/1.5
}
{$-\infty$, $\numprint{-8}$, $\numprint{5}$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, -, t, -, t, -}
......@@ -111,10 +111,10 @@ Le tableau de variations est donc :
\end{enumerate}
\item Répondre aux questions suivantes en utilisant le tableau de signes ou de variations.
\begin{enumerate}
\item \emph{Résoudre $f(x)\geq0$.} En regardant la dernière ligne du tableau de signes, on observe que $f$ est positive sur
\item \emph{Résoudre $f\,(x)\geqslant0$.} En regardant la dernière ligne du tableau de signes, on observe que $f$ est positive sur
l'intervalle central .
Les solutions sont donc :
\[ x\in\left[ \numprint{-8} ; \numprint{5} \right] \]
\[ x\in\interval[scaled]{\numprint{-8}}{\numprint{5}} \]
\item \emph{Quel est l'extremum de $f$ ? Est-ce un maximum ou un minimum ? Pour quelle valeur de $x$ est-il atteint ?} On lit sur le tableau de variations que la plus
grande valeur prise par $f$ est $\numprint{84.5}$. Le
maximum de $f$ est donc $\numprint{84.5}$, et il est atteint pour $x=\numprint{-1.5}$.
......
\exercice
On considère le trinôme du second degré $f: x\mapsto \numprint{-2} x^2 \numprint{-6}x +\numprint{80}$.
On considère le trinôme du second degré $f: x\mapsto \numprint{-2}\,x^2 -\numprint{6}\,x +\numprint{80}$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a : $f(x)=\numprint{-2} \left( x -\numprint{5} \right) \left( x +\numprint{8} \right) $.
\item Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a : $f(x)=\numprint{-2}\left( x +\numprint{1.5} \right)^2 +\numprint{84.5}$.
\item Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a : $f\,(x)=\numprint{-2} \,\left( x -\numprint{5} \right) \, \left( x +\numprint{8} \right) $.
\item Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a : $f\,(x)=\numprint{-2} \,\left( x +\numprint{1.5} \right)^2 +\numprint{84.5}$.
\end{enumerate}
\item Résoudre les équations suivantes en choisissant la forme appropriée de $f$.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=0$
\item $f(x)=\numprint{80}$
\item $f(x)=\numprint{84.5}$
\item $f\,(x)=0$
\item $f\,(x)=\numprint{80}$
\item $f\,(x)=\numprint{84.5}$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
......@@ -20,7 +20,7 @@ On considère le trinôme du second degré $f: x\mapsto \numprint{-2} x^2 \numpr
\end{enumerate}
\item Répondre aux questions suivantes en utilisant le tableau de signes ou de variations.
\begin{enumerate}
\item Résoudre $f(x)\geq0$.
\item Résoudre $f(x)\geqslant0$.
\item Quel est l'extremum de $f$ ? Est-ce un maximum ou un minimum ? Pour quelle valeur de $x$ est-il atteint ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\ No newline at end of file
......@@ -8,20 +8,20 @@ Puisque $P$ est l'état stable, alors $P=P\times M$.
\numprint{0.45} & \numprint{0.55} \\
\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix}
\numprint{0.95} x + \numprint{0.45} y & \numprint{0.05} x + \numprint{0.55} y
\numprint{0.95}\,x + \numprint{0.45}\,y & \numprint{0.05}\,x + \numprint{0.55}\,y
\end{pmatrix}
\end{align*}
Or $\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}=P=P\times M$, donc les coefficients des matrices sont deux à deux égaux, donc $x=0.95 x + 0.45 y$.
Or $\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}=P=P\times M$, donc les coefficients des matrices sont deux à deux égaux, donc $x=\numprint{0.95}\,x + \numprint{0.45}\,y$.
D'autre part, puisque $P$ est un état probabiliste, alors $x+y=1$, donc $y=1-x$. Donc, en remplaçant $y$ par $1-x$ dans l'équation précédente, on obtient :
\begin{align*}
x &= \numprint{0.95} x + \numprint{0.45} (1-x) \\
x &= \numprint{0.95} x + \numprint{0.45} - \numprint{0.45}x\\
x-\numprint{0.95} x +\numprint{0.45}x &= \numprint{0.45}\\
(1-\numprint{0.95}+\numprint{0.45})x &= \numprint{0.45}\\
\numprint{0.5} x &= \numprint{0.45}\\
x &= \numprint{0.95}\,x + \numprint{0.45}\,(1-x) \\
x &= \numprint{0.95}\,x + \numprint{0.45} - \numprint{0.45}\,x\\
x-\numprint{0.95}\,x +\numprint{0.45}\,x &= \numprint{0.45}\\
(1-\numprint{0.95}+\numprint{0.45}) \,x &= \numprint{0.45}\\
\numprint{0.5}\,x &= \numprint{0.45}\\
x &= \frac{\numprint{0.45}}{\numprint{0.5}}\\
x &= \numprint{0.9}
\end{align*}
......
\exercice*
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item Puisque $A( \numprint{4} ; \numprint{-75} )$ est sur la courbe de $f$, alors $f( \numprint{4} )=\numprint{-75}$, soit
\item Puisque $A\,( \numprint{4}~;~\numprint{-75} )$ est sur la courbe de $f$, alors $f\,( \numprint{4} )=\numprint{-75}$, soit
$a \times \numprint{4}^2+b\times \numprint{4}+c=\numprint{-75}$,
c'est-à-dire $\numprint{16}a + \numprint{4}b + c = \numprint{-75}$.
\item De même, puisque $B( \numprint{5} ; \numprint{-126} )$ est sur la courbe de $f$, alors $f( \numprint{5} )=\numprint{-126}$, soit
c'est-à-dire $\numprint{16}\,a + \numprint{4}\,b + c = \numprint{-75}$.
\item De même, puisque $B\,( \numprint{5}~;~\numprint{-126} )$ est sur la courbe de $f$, alors $f\,( \numprint{5} )=\numprint{-126}$, soit
$a \times \numprint{5}^2+b\times \numprint{5}+c=\numprint{-126}$,
c'est-à-dire $\numprint{25}a + \numprint{5}b + c = \numprint{-126}$.
\item Enfin, puisque $C( \numprint{6} ; \numprint{-191} )$ est sur la courbe de $f$, alors $f( \numprint{6} )=\numprint{-191}$, soit
c'est-à-dire $\numprint{25}\,a + \numprint{5}\,b + c = \numprint{-126}$.
\item Enfin, puisque $C\,( \numprint{6}~;~\numprint{-191} )$ est sur la courbe de $f$, alors $f\,( \numprint{6} )=\numprint{-191}$, soit
$a \times \numprint{6}^2+b\times \numprint{6}+c=\numprint{-191}$,
c'est-à-dire $\numprint{36}a + \numprint{6}b + c = \numprint{-191}$.
c'est-à-dire $\numprint{36}\,a + \numprint{6}\,b + c = \numprint{-191}$.
\end{itemize}
On en déduit le système suivant :
\[ \left\{\begin{array}{rcl}
\numprint{16}a + \numprint{4}b + c &=& \numprint{-75} \\
\numprint{25}a + \numprint{5}b + c &=& \numprint{-126} \\
\numprint{36}a + \numprint{6}b + c &=& \numprint{-191} \\
\numprint{16}\,a + \numprint{4}\,b + c &=& \numprint{-75} \\
\numprint{25}\,a + \numprint{5}\,b + c &=& \numprint{-126} \\
\numprint{36}\,a + \numprint{6}\,b + c &=& \numprint{-191} \\
\end{array}\right.\]
\item
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{rcl}
\numprint{16}a + \numprint{4}b + c &=& \numprint{-75} \\
\numprint{25}a + \numprint{5}b + c &=& \numprint{-126} \\
\numprint{36}a + \numprint{6}b + c &=& \numprint{-191} \\
\numprint{16}\,a + \numprint{4}\,b + c &=& \numprint{-75} \\
\numprint{25}\,a + \numprint{5}\,b + c &=& \numprint{-126} \\
\numprint{36}\,a + \numprint{6}\,b + c &=& \numprint{-191} \\
\end{array}\right.
&\iff
\begin{pmatrix}
\numprint{16}a + \numprint{4}b + c \\
\numprint{25}a + \numprint{5}b + c \\
\numprint{36}a + \numprint{6}b + c \\
\numprint{16}\,a + \numprint{4}\,b + c \\
\numprint{25}\,a + \numprint{5}\,b + c \\
\numprint{36}\,a + \numprint{6}\,b + c \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\numprint{-75}\\\numprint{-126}\\\numprint{-191}\\\end{pmatrix}\\
&\iff
\begin{pmatrix}\numprint{16} & \numprint{4} & \numprint{1}\\\numprint{25} & \numprint{5} & \numprint{1}\\\numprint{36} & \numprint{6} & \numprint{1}\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}a\\b\\c\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\numprint{-75}\\\numprint{-126}\\\numprint{-191}\\\end{pmatrix} \\
&\iff M X=R
&\iff M\, X=R
\end{align*}
Avec : $M= \begin{pmatrix}\numprint{16} & \numprint{4} & \numprint{1}\\\numprint{25} & \numprint{5} & \numprint{1}\\\numprint{36} & \numprint{6} & \numprint{1}\\\end{pmatrix}$, $X= \begin{pmatrix}a\\b\\c\\\end{pmatrix}$ et $R= \begin{pmatrix}\numprint{-75}\\\numprint{-126}\\\numprint{-191}\\\end{pmatrix}$.
\end{enumerate}
\item
Comme $M$ est inversible, et que $MX = R$, alors $X = M^{-1}\times R$. À la calculatrice, on obtient
$M^{-1}\times R=\begin{pmatrix}\numprint{16} & \numprint{4} & \numprint{1}\\\numprint{25} & \numprint{5} & \numprint{1}\\\numprint{36} & \numprint{6} & \numprint{1}\\\end{pmatrix}^{-1}\times \begin{pmatrix}\numprint{-75}\\\numprint{-126}\\\numprint{-191}\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\numprint{-7}\\\numprint{12}\\\numprint{-11}\\\end{pmatrix}$.
Comme $M$ est inversible, et que $M\,X = R$, alors $X = M^{-1}\times R$.
À la calculatrice, on obtient
$M^{-1}\times R=\begin{pmatrix}\numprint{16} & \numprint{4} & \numprint{1}\\\numprint{25} & \numprint{5} & \numprint{1}\\\numprint{36} & \numprint{6} & \numprint{1}\\\end{pmatrix}^{-1}\times \begin{pmatrix}\numprint{-75}\\\numprint{-126}\\\numprint{-191}\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\numprint{-7}\\\numprint{12}\\\numprint{-11}\\\end{pmatrix}$.
Ainsi, $a=\numprint{-7}$, $b=\numprint{12}$, et $c=\numprint{-11}$.
\item
En utilisant les valeurs de $a$, $b$, et $c$ calculées précédemment, nous connaissons l'expression de la fonction : $f(x) = \numprint{-7}x^2 + \numprint{12}x + \numprint{-11}$.
En utilisant les valeurs de $a$, $b$, et $c$ calculées précédemment, nous connaissons l'expression de la fonction : $f\,(x) = \numprint{-7}\,x^2 +\numprint{12}\,x -\numprint{11}$.
Nous pouvons maintenant calculer l'image de $\numprint{17}$ par cette fonction :
\begin{align*}
f( \numprint{17} )
&= \numprint{-7} \times \numprint{17}^2 + \numprint{12} \times \numprint{17} + \numprint{-11}\\
f\,( \numprint{17} )
&= \numprint{-7} \times \numprint{17}^2 +\numprint{12} \times \numprint{17} -\numprint{11}\\
&= \numprint{-1830}
\end{align*}
Donc $f( \numprint{17} ) = \numprint{-1830}$.
Donc $f\,( \numprint{17} ) = \numprint{-1830}$.
\end{enumerate}
\exercice
Dans un repère orthonormé, on cherche à déterminer l'équation d'une fonction dont la courbe passe par les points
$A( \numprint{4} ; \numprint{-75} )$,
$B( \numprint{5} ; \numprint{-126} )$ et
$C( \numprint{6} ; \numprint{-191} )$.
$A\,( \numprint{4} ~;~ \numprint{-75} )$,
$B\,( \numprint{5} ~;~ \numprint{-126} )$ et
$C\,( \numprint{6} ~;~ \numprint{-191} )$.
On cherche un trinôme du second degré, c'est-à-dire une fonction $f$ définie sur $]-\infty ; +\infty[$ par $f(x) = ax^2 + bx + c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels, que l'on cherche à déterminer.
On cherche un trinôme du second degré, c'est-à-dire une fonction $f$ définie sur $\interval[open]{-\infty}{+\infty}$ par
\mbox{$f\,(x) = a\,x^2 + b\,x + c$} où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels, que l'on cherche à déterminer.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item À partir des données de l'énoncé, écrire un système d'équations traduisant cette situation.
\item En déduire que le système précédent est équivalent à : $MX = R$ avec
\item En déduire que le système précédent est équivalent à : $M\,X = R$ avec
$M = \begin{pmatrix}\numprint{16} & \numprint{4} & \numprint{1}\\\numprint{25} & \numprint{5} & \numprint{1}\\\numprint{36} & \numprint{6} & \numprint{1}\\\end{pmatrix}$, $X= \begin{pmatrix}a\\b\\c\\\end{pmatrix}$ et $R$ une matrice colonne que l'on précisera.
\end{enumerate}
......@@ -18,6 +20,6 @@ On cherche un trinôme du second degré, c'est-à-dire une fonction $f$ définie
\setcounter{enumi}{1}
\item On admet que la matrice $M$ est inversible.
Déterminer les valeurs des cœfficients $a$, $b$ et $c$, en détaillant les calculs.
\item Quelle est la valeur de $f( \numprint{17} )$ ?
\item Quelle est la valeur de $f\,( \numprint{17} )$ ?
\end{enumerate}
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