Commit 8cd17269 by Louis

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 ... ... @@ -124,7 +124,7 @@ Le tableau de variations est donc : (* if a > 0 *) les premier et dernier intervalles (* else *) l'intervalle central (* endif *). Les solutions sont donc : (* if a > 0 *) $x\in\interval[open left, scaled]{-\infty; (( (x1, x2)|min|facteur ))} \cup \interval[open right, scaled]{(( (x1, x2)|max|facteur ))}{+\infty}$ $x\in\interval[open left, scaled]{-\infty}{(( (x1, x2)|min|facteur ))} \cup \interval[open right, scaled]{(( (x1, x2)|max|facteur ))}{+\infty}$ (* else *) $x\in\interval[scaled]{(( (x1, x2)|min|facteur ))}{(( (x1, x2)|max|facteur ))}$ (* endif *) ... ...
 \exercice* On considère le trinôme du second degré $f: x\mapsto \numprint{2} x^2 -\numprint{4}x -\numprint{70}$. On considère le trinôme du second degré $f: x\mapsto \numprint{2}\,x^2 -\numprint{4}\,x -\numprint{70}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $x\in\mathbb{R}$. Alors : \begin{align*} \numprint{2} \left( x +\numprint{5} \right) \left( x -\numprint{7} \right) &= \numprint{2} \left(x\times x +\numprint{5}\times x -\numprint{7}\times x +\numprint{5}\times \left(\numprint{-7}\right) \right) \\ &= \numprint{2} \left(x^2 -\numprint{2}x -\numprint{35}\right) \\ &= \numprint{2} x^2 +\numprint{2}\times\left(\numprint{-2}\right)x +\numprint{2}\times\left(\numprint{-35}\right) \\ &= \numprint{2} x^2 -\numprint{4}x -\numprint{70}\\ &= f(x) \numprint{2} \,\left( x +\numprint{5} \right) \, \left( x -\numprint{7} \right) &= \numprint{2} \,\left(x\times x +\numprint{5}\times x -\numprint{7}\times x +\numprint{5}\times \left(\numprint{-7}\right) \right) \\ &= \numprint{2} \,\left(x^2 -\numprint{2}\,x -\numprint{35}\right) \\ &= \numprint{2}\,x^2 +\numprint{2}\times\left(\numprint{-2}\,x\right) +\numprint{2}\times\left(\numprint{-35}\right) \\ &= \numprint{2}\,x^2 -\numprint{4}\,x -\numprint{70}\\ &= f\,(x) \end{align*} \item Soit $x\in\mathbb{R}$. Alors : \begin{align*} \numprint{2}\left( x -\numprint{1} \right)^2 -\numprint{72} &= \numprint{2}\left( x^2 -\numprint{2}\times \numprint{1} \times x + \numprint{1}^2\right) -\numprint{72}\\ &= \numprint{2}\left( x^2 -\numprint{2}x + \numprint{1}\right) -\numprint{72}\\ &= \numprint{2}x^2 +\numprint{2}\times \left(\numprint{-2}x\right) +\numprint{2}\times \numprint{1} -\numprint{72}\\ &= \numprint{2}x^2 -\numprint{4}x +\numprint{2} -\numprint{72}\\ &= \numprint{2}x^2 -\numprint{4}x -\numprint{70}\\ &= f(x) \numprint{2}\,\left( x -\numprint{1} \right)^2 -\numprint{72} &= \numprint{2}\,\left( x^2 -\numprint{2}\times \numprint{1} \times x + \numprint{1}^2\right) -\numprint{72}\\ &= \numprint{2}\,\left( x^2 -\numprint{2}\,x + \numprint{1}\right) -\numprint{72}\\ &= \numprint{2}\,x^2 +\numprint{2}\times \left(\numprint{-2}\,x\right) +\numprint{2}\times \numprint{1} -\numprint{72}\\ &= \numprint{2}\,x^2 -\numprint{4}\,x +\numprint{2} -\numprint{72}\\ &= \numprint{2}\,x^2 -\numprint{4}\,x -\numprint{70}\\ &= f\,(x) \end{align*} \end{enumerate} \item Résoudre les équations suivantes en choisissant la forme appropriée de $f$. \begin{enumerate} \item En prenant la forme factorisée, l'équation $f(x)=0$ est équivalente à l'équation produit nul $\numprint{2}(x +\numprint{5} )(x -\numprint{7} ) = 0$. Donc : \item En prenant la forme factorisée, l'équation $f\,(x)=0$ est équivalente à l'équation produit nul $\numprint{2}\,(x +\numprint{5} )\,(x -\numprint{7} ) = 0$. Donc : \begin{align*} x +\numprint{5}=0 &\text{ ou } x -\numprint{7}=0 \\ x=\numprint{-5} &\text{ ou } x=\numprint{7} \end{align*} Il y a donc deux solutions : $\numprint{-5}$ et $\numprint{7}$. \item $f(x)=\numprint{-70}$ On remarque que la forme développée contient la constante $\numprint{-70}$ : celles-ci devraient donc s'annuler, pour simplifier notre résolution. \item $f\,(x)=\numprint{-70}$ On remarque que la forme développée contient la constante $\numprint{-70}$ : celles-ci devraient donc s'annuler, pour simplifier notre résolution. \begin{align*} f(x) &= \numprint{-70} \\ \numprint{2}x^2 -\numprint{4}x -\numprint{70} &= \numprint{-70} \\ \numprint{2}x^2 -\numprint{4}x -\numprint{70} +\numprint{70} &= \numprint{-70} +\numprint{70} \\ \numprint{2}x^2 -\numprint{4}x &= 0 \\ f\,(x) &= \numprint{-70} \\ \numprint{2}\,x^2 -\numprint{4}\,x -\numprint{70} &= \numprint{-70} \\ \numprint{2}\,x^2 -\numprint{4}\,x -\numprint{70} +\numprint{70} &= \numprint{-70} +\numprint{70} \\ \numprint{2}\,x^2 -\numprint{4}\,x &= 0 \\ \end{align*} Nous pouvons maintenant factoriser le membre de gauche par $x$, ce qui nous donnera une équation produit nul. \begin{align*} \numprint{2}x^2 -\numprint{4}x &= 0 \\ \numprint{2}x\times x -\numprint{4}\times x &= 0 \\ x\left( \numprint{2}x -\numprint{4} \right) &= 0 \\ \numprint{2}\,x^2 -\numprint{4}\,x &= 0 \\ \numprint{2}\,x\times x -\numprint{4}\times x &= 0 \\ x\,\left( \numprint{2}\,x -\numprint{4} \right) &= 0 \\ \end{align*} \begin{align*} x =0 &\text{ ou } \numprint{2}x -\numprint{4}=0 \\ x =0 &\text{ ou } \numprint{2}x =\numprint{4} \\ x =0 &\text{ ou } \numprint{2}\,x -\numprint{4}=0 \\ x =0 &\text{ ou } \numprint{2}\,x =\numprint{4} \\ x =0 &\text{ ou } x = \frac{\numprint{4}}{\numprint{2}} \\ x =0 &\text{ ou } x = \numprint{2} \\ \end{align*} Il y a donc deux solutions : $x=0$ et $x=\numprint{2}$. \item $f(x)=\numprint{-72}$ On remarque que la forme canonique contient la constante $\numprint{-72}$ : en l'utilisant, elles devraient se simplifier. \item $f\,(x)=\numprint{-72}$ On remarque que la forme canonique contient la constante $\numprint{-72}$ : en l'utilisant, elles devraient se simplifier. \begin{align*} f(x) &= \numprint{-72} \\ \numprint{2} \left( x -\numprint{1} \right)^2 -\numprint{72} &= \numprint{-72}\\ \numprint{2} \left( x -\numprint{1} \right)^2 -\numprint{72} +\numprint{72} &= \numprint{-72} +\numprint{72}\\ \numprint{2} \left( x -\numprint{1} \right)^2 &= 0\\ f\,(x) &= \numprint{-72} \\ \numprint{2} \,\left( x -\numprint{1} \right)^2 -\numprint{72} &= \numprint{-72}\\ \numprint{2} \,\left( x -\numprint{1} \right)^2 -\numprint{72} +\numprint{72} &= \numprint{-72} +\numprint{72}\\ \numprint{2} \,\left( x -\numprint{1} \right)^2 &= 0\\ \left( x -\numprint{1} \right)^2 &= 0\\ \end{align*} Or $0$ est le seul nombre dont le carré est nul, donc l'équation précédente est équivalente à : ... ... @@ -75,7 +75,7 @@ Il y a donc une unique solution $x=\numprint{1}$. donc la fonction est décroissante puis croissante . De plus, l'absisse du sommet est $-\frac{\numprint{-4}}{2\times\numprint{2}}$, soit $\numprint{1}$, et $f( \numprint{1} )=\numprint{2}\times\numprint{1}^2 -\numprint{4}\times \numprint{1} -\numprint{70}=\numprint{-72}$. $f\,( \numprint{1} )=\numprint{2}\times\numprint{1}^2 -\numprint{4}\times \numprint{1} -\numprint{70}=\numprint{-72}$. Le tableau de variations est donc : \begin{center} \begin{tikzpicture} ... ... @@ -85,7 +85,7 @@ Le tableau de variations est donc : \tkzTabVar{+/, -/$\numprint{-72}$/, +/} \end{tikzpicture} \end{center} \item \emph{Dresser le tableau de signes de $f$.} Construisons un tableau de signes en utilisant la forme factorisée $f(x)=\numprint{2} \left(x +\numprint{5}\right) \left(x -\numprint{7}\right)$. \item \emph{Dresser le tableau de signes de $f$.} Construisons un tableau de signes en utilisant la forme factorisée $f\,(x)=\numprint{2} \,\left(x +\numprint{5}\right) \, \left(x -\numprint{7}\right)$. \begin{itemize} \item Le premier facteur $x +\numprint{5}$ est une fonction affine, de coefficient directeur $a=1$ positif, et d'ordonnée à l'origine $b=\numprint{5}$. Elle est donc négative, puis positive, et change de signe en $-\frac{b}{a}=-\frac{\numprint{5}}{1}=\numprint{-5}$. ... ... @@ -99,7 +99,7 @@ Le tableau de variations est donc : $\numprint{2}$/1, $x +\numprint{5}$/1, $x -\numprint{7}$/1, $f(x)=\numprint{2}\left( x +\numprint{5} \right) \left( x -\numprint{7} \right)$/1.5 $f\,(x)=\numprint{2}\,\left( x +\numprint{5} \right)\,\left( x -\numprint{7} \right)$/1.5 } {$-\infty$, $\numprint{-5}$, $\numprint{7}$, $+\infty$} \tkzTabLine{, +, t, +, t, +} ... ... @@ -111,10 +111,10 @@ Le tableau de variations est donc : \end{enumerate} \item Répondre aux questions suivantes en utilisant le tableau de signes ou de variations. \begin{enumerate} \item \emph{Résoudre $f(x)\geq0$.} En regardant la dernière ligne du tableau de signes, on observe que $f$ est positive sur \item \emph{Résoudre $f\,(x)\geqslant0$.} En regardant la dernière ligne du tableau de signes, on observe que $f$ est positive sur les premier et dernier intervalles . Les solutions sont donc : $x\in\left]-\infty; \numprint{-5}\right] \cup \left[ \numprint{7}; +\infty\right[$ $x\in\interval[open left, scaled]{-\infty}{\numprint{-5}} \cup \interval[open right, scaled]{\numprint{7}}{+\infty}$ \item \emph{Quel est l'extremum de $f$ ? Est-ce un maximum ou un minimum ? Pour quelle valeur de $x$ est-il atteint ?} On lit sur le tableau de variations que la plus petite valeur prise par $f$ est $\numprint{-72}$. Le minimum de $f$ est donc $\numprint{-72}$, et il est atteint pour $x=\numprint{1}$. ... ...
 \exercice On considère le trinôme du second degré $f: x\mapsto \numprint{2} x^2 \numprint{-4}x -\numprint{70}$. On considère le trinôme du second degré $f: x\mapsto \numprint{2}\,x^2 -\numprint{4}\,x -\numprint{70}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a : $f(x)=\numprint{2} \left( x +\numprint{5} \right) \left( x -\numprint{7} \right)$. \item Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a : $f(x)=\numprint{2}\left( x -\numprint{1} \right)^2 -\numprint{72}$. \item Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a : $f\,(x)=\numprint{2} \,\left( x +\numprint{5} \right) \, \left( x -\numprint{7} \right)$. \item Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a : $f\,(x)=\numprint{2} \,\left( x -\numprint{1} \right)^2 -\numprint{72}$. \end{enumerate} \item Résoudre les équations suivantes en choisissant la forme appropriée de $f$. \begin{enumerate} \item $f(x)=0$ \item $f(x)=\numprint{-70}$ \item $f(x)=\numprint{-72}$ \item $f\,(x)=0$ \item $f\,(x)=\numprint{-70}$ \item $f\,(x)=\numprint{-72}$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} ... ... @@ -20,7 +20,7 @@ On considère le trinôme du second degré $f: x\mapsto \numprint{2} x^2 \numpri \end{enumerate} \item Répondre aux questions suivantes en utilisant le tableau de signes ou de variations. \begin{enumerate} \item Résoudre$f(x)\geq0$. \item Résoudre$f(x)\geqslant0$. \item Quel est l'extremum de$f$? Est-ce un maximum ou un minimum ? Pour quelle valeur de$x$est-il atteint ? \end{enumerate} \end{enumerate} \ No newline at end of file  \exercice* On considère le trinôme du second degré$f: x\mapsto \numprint{-2} x^2 -\numprint{6}x +\numprint{80}$. On considère le trinôme du second degré$f: x\mapsto \numprint{-2}\,x^2 -\numprint{6}\,x +\numprint{80}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit$x\in\mathbb{R}. Alors : \begin{align*} \numprint{-2} \left( x -\numprint{5} \right) \left( x +\numprint{8} \right) &= \numprint{-2} \left(x\times x -\numprint{5}\times x +\numprint{8}\times x -\numprint{5}\times \numprint{8} \right) \\ &= \numprint{-2} \left(x^2 +\numprint{3}x -\numprint{40}\right) \\ &= \numprint{-2} x^2 -\numprint{2}\times\numprint{3}x -\numprint{2}\times\left(\numprint{-40}\right) \\ &= \numprint{-2} x^2 -\numprint{6}x +\numprint{80}\\ &= f(x) \numprint{-2} \,\left( x -\numprint{5} \right) \, \left( x +\numprint{8} \right) &= \numprint{-2} \,\left(x\times x -\numprint{5}\times x +\numprint{8}\times x -\numprint{5}\times \numprint{8} \right) \\ &= \numprint{-2} \,\left(x^2 +\numprint{3}\,x -\numprint{40}\right) \\ &= \numprint{-2}\,x^2 -\numprint{2}\times\numprint{3}\,x -\numprint{2}\times\left(\numprint{-40}\right) \\ &= \numprint{-2}\,x^2 -\numprint{6}\,x +\numprint{80}\\ &= f\,(x) \end{align*} \item Soitx\in\mathbb{R}. Alors : \begin{align*} \numprint{-2}\left( x +\numprint{1.5} \right)^2 +\numprint{84.5} &= \numprint{-2}\left( x^2 +\numprint{2}\times \numprint{1.5} \times x + \numprint{1.5}^2\right) +\numprint{84.5}\\ &= \numprint{-2}\left( x^2 +\numprint{3}x + \numprint{2.25}\right) +\numprint{84.5}\\ &= \numprint{-2}x^2 -\numprint{2}\times \numprint{3}x -\numprint{2}\times \numprint{2.25} +\numprint{84.5}\\ &= \numprint{-2}x^2 -\numprint{6}x -\numprint{4.5} +\numprint{84.5}\\ &= \numprint{-2}x^2 -\numprint{6}x +\numprint{80}\\ &= f(x) \numprint{-2}\,\left( x +\numprint{1.5} \right)^2 +\numprint{84.5} &= \numprint{-2}\,\left( x^2 +\numprint{2}\times \numprint{1.5} \times x + \numprint{1.5}^2\right) +\numprint{84.5}\\ &= \numprint{-2}\,\left( x^2 +\numprint{3}\,x + \numprint{2.25}\right) +\numprint{84.5}\\ &= \numprint{-2}\,x^2 -\numprint{2}\times \numprint{3}\,x -\numprint{2}\times \numprint{2.25} +\numprint{84.5}\\ &= \numprint{-2}\,x^2 -\numprint{6}\,x -\numprint{4.5} +\numprint{84.5}\\ &= \numprint{-2}\,x^2 -\numprint{6}\,x +\numprint{80}\\ &= f\,(x) \end{align*} \end{enumerate} \item Résoudre les équations suivantes en choisissant la forme appropriée def$. \begin{enumerate} \item En prenant la forme factorisée, l'équation$f(x)=0$est équivalente à l'équation produit nul$\numprint{-2}(x -\numprint{5} )(x +\numprint{8} ) = 0$. Donc : \item En prenant la forme factorisée, l'équation$f\,(x)=0$est équivalente à l'équation produit nul$\numprint{-2}\,(x -\numprint{5} )\,(x +\numprint{8} ) = 0. Donc : \begin{align*} x -\numprint{5}=0 &\text{ ou } x +\numprint{8}=0 \\ x=\numprint{5} &\text{ ou } x=\numprint{-8} \end{align*} Il y a donc deux solutions :\numprint{5}$et$\numprint{-8}$. \item$f(x)=\numprint{80}$On remarque que la forme développée contient la constante$\numprint{80}$: celles-ci devraient donc s'annuler, pour simplifier notre résolution. \item$f\,(x)=\numprint{80}$On remarque que la forme développée contient la constante$\numprint{80}: celles-ci devraient donc s'annuler, pour simplifier notre résolution. \begin{align*} f(x) &= \numprint{80} \\ \numprint{-2}x^2 -\numprint{6}x +\numprint{80} &= \numprint{80} \\ \numprint{-2}x^2 -\numprint{6}x +\numprint{80} -\numprint{80} &= \numprint{80} -\numprint{80} \\ \numprint{-2}x^2 -\numprint{6}x &= 0 \\ f\,(x) &= \numprint{80} \\ \numprint{-2}\,x^2 -\numprint{6}\,x +\numprint{80} &= \numprint{80} \\ \numprint{-2}\,x^2 -\numprint{6}\,x +\numprint{80} -\numprint{80} &= \numprint{80} -\numprint{80} \\ \numprint{-2}\,x^2 -\numprint{6}\,x &= 0 \\ \end{align*} Nous pouvons maintenant factoriser le membre de gauche parx, ce qui nous donnera une équation produit nul. \begin{align*} \numprint{-2}x^2 -\numprint{6}x &= 0 \\ \numprint{-2}x\times x -\numprint{6}\times x &= 0 \\ x\left( \numprint{-2}x -\numprint{6} \right) &= 0 \\ \numprint{-2}\,x^2 -\numprint{6}\,x &= 0 \\ \numprint{-2}\,x\times x -\numprint{6}\times x &= 0 \\ x\,\left( \numprint{-2}\,x -\numprint{6} \right) &= 0 \\ \end{align*} \begin{align*} x =0 &\text{ ou } \numprint{-2}x -\numprint{6}=0 \\ x =0 &\text{ ou } \numprint{-2}x =\numprint{6} \\ x =0 &\text{ ou } \numprint{-2}\,x -\numprint{6}=0 \\ x =0 &\text{ ou } \numprint{-2}\,x =\numprint{6} \\ x =0 &\text{ ou } x = \frac{\numprint{6}}{\numprint{-2}} \\ x =0 &\text{ ou } x = \numprint{-3} \\ \end{align*} Il y a donc deux solutions :x=0$et$x=\numprint{-3}$. \item$f(x)=\numprint{84.5}$On remarque que la forme canonique contient la constante$\numprint{84.5}$: en l'utilisant, elles devraient se simplifier. \item$f\,(x)=\numprint{84.5}$On remarque que la forme canonique contient la constante$\numprint{84.5}: en l'utilisant, elles devraient se simplifier. \begin{align*} f(x) &= \numprint{84.5} \\ \numprint{-2} \left( x +\numprint{1.5} \right)^2 +\numprint{84.5} &= \numprint{84.5}\\ \numprint{-2} \left( x +\numprint{1.5} \right)^2 +\numprint{84.5} -\numprint{84.5} &= \numprint{84.5} -\numprint{84.5}\\ \numprint{-2} \left( x +\numprint{1.5} \right)^2 &= 0\\ f\,(x) &= \numprint{84.5} \\ \numprint{-2} \,\left( x +\numprint{1.5} \right)^2 +\numprint{84.5} &= \numprint{84.5}\\ \numprint{-2} \,\left( x +\numprint{1.5} \right)^2 +\numprint{84.5} -\numprint{84.5} &= \numprint{84.5} -\numprint{84.5}\\ \numprint{-2} \,\left( x +\numprint{1.5} \right)^2 &= 0\\ \left( x +\numprint{1.5} \right)^2 &= 0\\ \end{align*} Or0$est le seul nombre dont le carré est nul, donc l'équation précédente est équivalente à : ... ... @@ -75,7 +75,7 @@ Il y a donc une unique solution$x=\numprint{-1.5}$. donc la fonction est croissante puis décroissante . De plus, l'absisse du sommet est$-\frac{\numprint{-6}}{2\times\left(\numprint{-2}\right)}$, soit$\numprint{-1.5}$, et$f( \numprint{-1.5} )=\numprint{-2}\times\left(\numprint{-1.5}\right)^2 -\numprint{6}\times \left(\numprint{-1.5}\right) +\numprint{80}=\numprint{84.5}$.$f\,( \numprint{-1.5} )=\numprint{-2}\times\left(\numprint{-1.5}\right)^2 -\numprint{6}\times \left(\numprint{-1.5}\right) +\numprint{80}=\numprint{84.5}$. Le tableau de variations est donc : \begin{center} \begin{tikzpicture} ... ... @@ -85,7 +85,7 @@ Le tableau de variations est donc : \tkzTabVar{-/, +/$\numprint{84.5}$/, -/} \end{tikzpicture} \end{center} \item \emph{Dresser le tableau de signes de$f$.} Construisons un tableau de signes en utilisant la forme factorisée$f(x)=\numprint{-2} \left(x -\numprint{5}\right) \left(x +\numprint{8}\right)$. \item \emph{Dresser le tableau de signes de$f$.} Construisons un tableau de signes en utilisant la forme factorisée$f\,(x)=\numprint{-2} \,\left(x -\numprint{5}\right) \, \left(x +\numprint{8}\right)$. \begin{itemize} \item Le premier facteur$x -\numprint{5}$est une fonction affine, de coefficient directeur$a=1$positif, et d'ordonnée à l'origine$b=\numprint{-5}$. Elle est donc négative, puis positive, et change de signe en$-\frac{b}{a}=-\frac{\numprint{-5}}{1}=\numprint{5}$. ... ... @@ -99,7 +99,7 @@ Le tableau de variations est donc :$\numprint{-2}$/1,$x -\numprint{5}$/1,$x +\numprint{8}$/1,$f(x)=\numprint{-2}\left( x -\numprint{5} \right) \left( x +\numprint{8} \right)$/1.5$f\,(x)=\numprint{-2}\,\left( x -\numprint{5} \right)\,\left( x +\numprint{8} \right)$/1.5 } {$-\infty$,$\numprint{-8}$,$\numprint{5}$,$+\infty$} \tkzTabLine{, -, t, -, t, -} ... ... @@ -111,10 +111,10 @@ Le tableau de variations est donc : \end{enumerate} \item Répondre aux questions suivantes en utilisant le tableau de signes ou de variations. \begin{enumerate} \item \emph{Résoudre$f(x)\geq0$.} En regardant la dernière ligne du tableau de signes, on observe que$f$est positive sur \item \emph{Résoudre$f\,(x)\geqslant0$.} En regardant la dernière ligne du tableau de signes, on observe que$f$est positive sur l'intervalle central . Les solutions sont donc : $x\in\left[ \numprint{-8} ; \numprint{5} \right]$ $x\in\interval[scaled]{\numprint{-8}}{\numprint{5}}$ \item \emph{Quel est l'extremum de$f$? Est-ce un maximum ou un minimum ? Pour quelle valeur de$x$est-il atteint ?} On lit sur le tableau de variations que la plus grande valeur prise par$f$est$\numprint{84.5}$. Le maximum de$f$est donc$\numprint{84.5}$, et il est atteint pour$x=\numprint{-1.5}$. ... ...  \exercice On considère le trinôme du second degré$f: x\mapsto \numprint{-2} x^2 \numprint{-6}x +\numprint{80}$. On considère le trinôme du second degré$f: x\mapsto \numprint{-2}\,x^2 -\numprint{6}\,x +\numprint{80}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout$x\in\mathbb{R}$, on a :$f(x)=\numprint{-2} \left( x -\numprint{5} \right) \left( x +\numprint{8} \right) $. \item Montrer que pour tout$x\in\mathbb{R}$, on a :$f(x)=\numprint{-2}\left( x +\numprint{1.5} \right)^2 +\numprint{84.5}$. \item Montrer que pour tout$x\in\mathbb{R}$, on a :$f\,(x)=\numprint{-2} \,\left( x -\numprint{5} \right) \, \left( x +\numprint{8} \right) $. \item Montrer que pour tout$x\in\mathbb{R}$, on a :$f\,(x)=\numprint{-2} \,\left( x +\numprint{1.5} \right)^2 +\numprint{84.5}$. \end{enumerate} \item Résoudre les équations suivantes en choisissant la forme appropriée de$f$. \begin{enumerate} \item$f(x)=0$\item$f(x)=\numprint{80}$\item$f(x)=\numprint{84.5}$\item$f\,(x)=0$\item$f\,(x)=\numprint{80}$\item$f\,(x)=\numprint{84.5}$\end{enumerate} \item \begin{enumerate} ... ... @@ -20,7 +20,7 @@ On considère le trinôme du second degré$f: x\mapsto \numprint{-2} x^2 \numpr \end{enumerate} \item Répondre aux questions suivantes en utilisant le tableau de signes ou de variations. \begin{enumerate} \item Résoudre $f(x)\geq0$. \item Résoudre $f(x)\geqslant0$. \item Quel est l'extremum de $f$ ? Est-ce un maximum ou un minimum ? Pour quelle valeur de $x$ est-il atteint ? \end{enumerate} \end{enumerate} \ No newline at end of file
 ... ... @@ -8,20 +8,20 @@ Puisque $P$ est l'état stable, alors $P=P\times M$. \numprint{0.45} & \numprint{0.55} \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} \numprint{0.95} x + \numprint{0.45} y & \numprint{0.05} x + \numprint{0.55} y \numprint{0.95}\,x + \numprint{0.45}\,y & \numprint{0.05}\,x + \numprint{0.55}\,y \end{pmatrix} \end{align*} Or $\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}=P=P\times M$, donc les coefficients des matrices sont deux à deux égaux, donc $x=0.95 x + 0.45 y$. Or $\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}=P=P\times M$, donc les coefficients des matrices sont deux à deux égaux, donc $x=\numprint{0.95}\,x + \numprint{0.45}\,y$. D'autre part, puisque $P$ est un état probabiliste, alors $x+y=1$, donc $y=1-x$. Donc, en remplaçant $y$ par $1-x$ dans l'équation précédente, on obtient : \begin{align*} x &= \numprint{0.95} x + \numprint{0.45} (1-x) \\ x &= \numprint{0.95} x + \numprint{0.45} - \numprint{0.45}x\\ x-\numprint{0.95} x +\numprint{0.45}x &= \numprint{0.45}\\ (1-\numprint{0.95}+\numprint{0.45})x &= \numprint{0.45}\\ \numprint{0.5} x &= \numprint{0.45}\\ x &= \numprint{0.95}\,x + \numprint{0.45}\,(1-x) \\ x &= \numprint{0.95}\,x + \numprint{0.45} - \numprint{0.45}\,x\\ x-\numprint{0.95}\,x +\numprint{0.45}\,x &= \numprint{0.45}\\ (1-\numprint{0.95}+\numprint{0.45}) \,x &= \numprint{0.45}\\ \numprint{0.5}\,x &= \numprint{0.45}\\ x &= \frac{\numprint{0.45}}{\numprint{0.5}}\\ x &= \numprint{0.9} \end{align*} ... ...
 \exercice* \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \begin{itemize} \item Puisque $A( \numprint{4} ; \numprint{-75} )$ est sur la courbe de $f$, alors $f( \numprint{4} )=\numprint{-75}$, soit \item Puisque $A\,( \numprint{4}~;~\numprint{-75} )$ est sur la courbe de $f$, alors $f\,( \numprint{4} )=\numprint{-75}$, soit $a \times \numprint{4}^2+b\times \numprint{4}+c=\numprint{-75}$, c'est-à-dire $\numprint{16}a + \numprint{4}b + c = \numprint{-75}$. \item De même, puisque $B( \numprint{5} ; \numprint{-126} )$ est sur la courbe de $f$, alors $f( \numprint{5} )=\numprint{-126}$, soit c'est-à-dire $\numprint{16}\,a + \numprint{4}\,b + c = \numprint{-75}$. \item De même, puisque $B\,( \numprint{5}~;~\numprint{-126} )$ est sur la courbe de $f$, alors $f\,( \numprint{5} )=\numprint{-126}$, soit $a \times \numprint{5}^2+b\times \numprint{5}+c=\numprint{-126}$, c'est-à-dire $\numprint{25}a + \numprint{5}b + c = \numprint{-126}$. \item Enfin, puisque $C( \numprint{6} ; \numprint{-191} )$ est sur la courbe de $f$, alors $f( \numprint{6} )=\numprint{-191}$, soit c'est-à-dire $\numprint{25}\,a + \numprint{5}\,b + c = \numprint{-126}$. \item Enfin, puisque $C\,( \numprint{6}~;~\numprint{-191} )$ est sur la courbe de $f$, alors $f\,( \numprint{6} )=\numprint{-191}$, soit $a \times \numprint{6}^2+b\times \numprint{6}+c=\numprint{-191}$, c'est-à-dire $\numprint{36}a + \numprint{6}b + c = \numprint{-191}$. c'est-à-dire $\numprint{36}\,a + \numprint{6}\,b + c = \numprint{-191}$. \end{itemize} On en déduit le système suivant : $\left\{\begin{array}{rcl} \numprint{16}a + \numprint{4}b + c &=& \numprint{-75} \\ \numprint{25}a + \numprint{5}b + c &=& \numprint{-126} \\ \numprint{36}a + \numprint{6}b + c &=& \numprint{-191} \\ \numprint{16}\,a + \numprint{4}\,b + c &=& \numprint{-75} \\ \numprint{25}\,a + \numprint{5}\,b + c &=& \numprint{-126} \\ \numprint{36}\,a + \numprint{6}\,b + c &=& \numprint{-191} \\ \end{array}\right.$ \item \begin{align*} \left\{\begin{array}{rcl} \numprint{16}a + \numprint{4}b + c &=& \numprint{-75} \\ \numprint{25}a + \numprint{5}b + c &=& \numprint{-126} \\ \numprint{36}a + \numprint{6}b + c &=& \numprint{-191} \\ \numprint{16}\,a + \numprint{4}\,b + c &=& \numprint{-75} \\ \numprint{25}\,a + \numprint{5}\,b + c &=& \numprint{-126} \\ \numprint{36}\,a + \numprint{6}\,b + c &=& \numprint{-191} \\ \end{array}\right. &\iff \begin{pmatrix} \numprint{16}a + \numprint{4}b + c \\ \numprint{25}a + \numprint{5}b + c \\ \numprint{36}a + \numprint{6}b + c \\ \numprint{16}\,a + \numprint{4}\,b + c \\ \numprint{25}\,a + \numprint{5}\,b + c \\ \numprint{36}\,a + \numprint{6}\,b + c \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\numprint{-75}\\\numprint{-126}\\\numprint{-191}\\\end{pmatrix}\\ &\iff \begin{pmatrix}\numprint{16} & \numprint{4} & \numprint{1}\\\numprint{25} & \numprint{5} & \numprint{1}\\\numprint{36} & \numprint{6} & \numprint{1}\\\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}a\\b\\c\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\numprint{-75}\\\numprint{-126}\\\numprint{-191}\\\end{pmatrix} \\ &\iff M X=R &\iff M\, X=R \end{align*} Avec : $M= \begin{pmatrix}\numprint{16} & \numprint{4} & \numprint{1}\\\numprint{25} & \numprint{5} & \numprint{1}\\\numprint{36} & \numprint{6} & \numprint{1}\\\end{pmatrix}$, $X= \begin{pmatrix}a\\b\\c\\\end{pmatrix}$ et $R= \begin{pmatrix}\numprint{-75}\\\numprint{-126}\\\numprint{-191}\\\end{pmatrix}$. \end{enumerate} \item Comme $M$ est inversible, et que $MX = R$, alors $X = M^{-1}\times R$. À la calculatrice, on obtient $M^{-1}\times R=\begin{pmatrix}\numprint{16} & \numprint{4} & \numprint{1}\\\numprint{25} & \numprint{5} & \numprint{1}\\\numprint{36} & \numprint{6} & \numprint{1}\\\end{pmatrix}^{-1}\times \begin{pmatrix}\numprint{-75}\\\numprint{-126}\\\numprint{-191}\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\numprint{-7}\\\numprint{12}\\\numprint{-11}\\\end{pmatrix}$. Comme $M$ est inversible, et que $M\,X = R$, alors $X = M^{-1}\times R$. À la calculatrice, on obtient $M^{-1}\times R=\begin{pmatrix}\numprint{16} & \numprint{4} & \numprint{1}\\\numprint{25} & \numprint{5} & \numprint{1}\\\numprint{36} & \numprint{6} & \numprint{1}\\\end{pmatrix}^{-1}\times \begin{pmatrix}\numprint{-75}\\\numprint{-126}\\\numprint{-191}\\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\numprint{-7}\\\numprint{12}\\\numprint{-11}\\\end{pmatrix}$. Ainsi, $a=\numprint{-7}$, $b=\numprint{12}$, et $c=\numprint{-11}$. \item En utilisant les valeurs de $a$, $b$, et $c$ calculées précédemment, nous connaissons l'expression de la fonction : $f(x) = \numprint{-7}x^2 + \numprint{12}x + \numprint{-11}$. En utilisant les valeurs de $a$, $b$, et $c$ calculées précédemment, nous connaissons l'expression de la fonction : $f\,(x) = \numprint{-7}\,x^2 +\numprint{12}\,x -\numprint{11}$. Nous pouvons maintenant calculer l'image de $\numprint{17}$ par cette fonction : \begin{align*} f( \numprint{17} ) &= \numprint{-7} \times \numprint{17}^2 + \numprint{12} \times \numprint{17} + \numprint{-11}\\ f\,( \numprint{17} ) &= \numprint{-7} \times \numprint{17}^2 +\numprint{12} \times \numprint{17} -\numprint{11}\\ &= \numprint{-1830} \end{align*} Donc $f( \numprint{17} ) = \numprint{-1830}$. Donc $f\,( \numprint{17} ) = \numprint{-1830}$. \end{enumerate}
 \exercice Dans un repère orthonormé, on cherche à déterminer l'équation d'une fonction dont la courbe passe par les points $A( \numprint{4} ; \numprint{-75} )$, $B( \numprint{5} ; \numprint{-126} )$ et $C( \numprint{6} ; \numprint{-191} )$. $A\,( \numprint{4} ~;~ \numprint{-75} )$, $B\,( \numprint{5} ~;~ \numprint{-126} )$ et $C\,( \numprint{6} ~;~ \numprint{-191} )$. On cherche un trinôme du second degré, c'est-à-dire une fonction $f$ définie sur $]-\infty ; +\infty[$ par $f(x) = ax^2 + bx + c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels, que l'on cherche à déterminer. On cherche un trinôme du second degré, c'est-à-dire une fonction $f$ définie sur $\interval[open]{-\infty}{+\infty}$ par \mbox{$f\,(x) = a\,x^2 + b\,x + c$} où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels, que l'on cherche à déterminer. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À partir des données de l'énoncé, écrire un système d'équations traduisant cette situation. \item En déduire que le système précédent est équivalent à : $MX = R$ avec \item En déduire que le système précédent est équivalent à : $M\,X = R$ avec $M = \begin{pmatrix}\numprint{16} & \numprint{4} & \numprint{1}\\\numprint{25} & \numprint{5} & \numprint{1}\\\numprint{36} & \numprint{6} & \numprint{1}\\\end{pmatrix}$, $X= \begin{pmatrix}a\\b\\c\\\end{pmatrix}$ et $R$ une matrice colonne que l'on précisera. \end{enumerate} ... ... @@ -18,6 +20,6 @@ On cherche un trinôme du second degré, c'est-à-dire une fonction $f$ définie \setcounter{enumi}{1} \item On admet que la matrice $M$ est inversible. Déterminer les valeurs des cœfficients $a$, $b$ et $c$, en détaillant les calculs. \item Quelle est la valeur de $f( \numprint{17} )$ ? \item Quelle est la valeur de $f\,( \numprint{17} )$ ? \end{enumerate} \ No newline at end of file
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