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Relecture des exercices proposés par Louis

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Version XX.XX
Version 18.06
* Nouvel exercice niveau terminale ES (spécialité) : Déterminer l'état stable d'un graphe probabiliste (en utilisant un système d'équations).
* Nouvel exercice niveau terminale ES (spécialité) : Résoudre un système d'équations en utilisant les matrices.
* Nouvel exercice niveau seconde : Bilan sur les trinômes.
......
\exercice*
On considère le trinôme du second degré $f: x\mapsto (( a|facteur )) x^2 (( b|facteur("so*x") )) (( c|facteur("so") ))$.
On considère le trinôme du second degré $f: x\mapsto (( a|facteur("X") )) (( b|facteur("so*x") )) (( c|facteur("so") ))$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Soit $x\in\mathbb{R}$. Alors :
\begin{align*}
(( a|facteur )) \left( x (( -x1|facteur("so") )) \right) \left( x (( -x2|facteur("so") )) \right)
&= (( a|facteur )) \left(x\times x (( -x1|facteur("so") ))\times x (( -x2|facteur("so") ))\times x (( -x1|facteur("so") ))\times (( -x2|facteur("p") )) \right) \\
&= (( a|facteur )) \left(x^2 (( (-x1-x2)|facteur("so*x") )) (( (x1*x2)|facteur("so*") ))\right) \\
&= (( a|facteur )) x^2 (( a|facteur("so") ))\times(( (-x1-x2)|facteur("p") ))x (( a|facteur("so") ))\times(( (x1*x2)|facteur("p") )) \\
&= (( a|facteur )) x^2 (( b|facteur("so*x") )) (( c|facteur("so") ))\\
&= f(x)
(( a|facteur )) \,\left( x (( -x1|facteur("so") )) \right) \, \left( x (( -x2|facteur("so") )) \right)
&= (( a|facteur )) \,\left(x\times x (( -x1|facteur("so") ))\times x (( -x2|facteur("so") ))\times x (( -x1|facteur("so") ))\times (( -x2|facteur("p") )) \right) \\
&= (( a|facteur )) \,\left(x^2 (( (-x1-x2)|facteur("so*x") )) (( (x1*x2)|facteur("so*") ))\right) \\
&= (( a|facteur("X") )) (( a|facteur("so") ))\times(( (-x1-x2)|facteur("px") )) (( a|facteur("so") ))\times(( (x1*x2)|facteur("p") )) \\
&= (( a|facteur("X") )) (( b|facteur("so*x") )) (( c|facteur("so") ))\\
&= f\,(x)
\end{align*}
\item Soit $x\in\mathbb{R}$. Alors :
\begin{align*}
(( a|facteur ))\left( x (( -alpha|facteur("so") )) \right)^2 (( beta|facteur("so") ))
&= (( a|facteur ))\left( x^2 (( (-signealpha*2)|facteur("so") ))\times (( absalpha|facteur )) \times x + (( absalpha|facteur ))^2\right) (( beta|facteur("so") ))\\
&= (( a|facteur ))\left( x^2 (( (-alpha*2)|facteur("so") ))x + (( (absalpha**2)|facteur ))\right) (( beta|facteur("so") ))\\
&= (( a|facteur ))x^2 (( a|facteur("so") ))\times (( (-alpha*2)|facteur("px") )) (( a|facteur("so") ))\times (( (absalpha**2)|facteur )) (( beta|facteur("so") ))\\
&= (( a|facteur ))x^2 (( b|facteur("so*x") )) (( (a*absalpha**2)|facteur("so") )) (( beta|facteur("so") ))\\
&= (( a|facteur ))x^2 (( b|facteur("so*x") )) (( c|facteur("so") ))\\
&= f(x)
(( a|facteur ))\,\left( x (( -alpha|facteur("so") )) \right)^2 (( beta|facteur("so") ))
&= (( a|facteur ))\,\left( x^2 (( (-signealpha*2)|facteur("so") ))\times (( absalpha|facteur )) \times x + (( absalpha|facteur ))^2\right) (( beta|facteur("so") ))\\
&= (( a|facteur ))\,\left( x^2 (( (-alpha*2)|facteur("sox") )) + (( (absalpha**2)|facteur ))\right) (( beta|facteur("so") ))\\
&= (( a|facteur("X") )) (( a|facteur("so") ))\times (( (-alpha*2)|facteur("px") )) (( a|facteur("so") ))\times (( (absalpha**2)|facteur )) (( beta|facteur("so") ))\\
&= (( a|facteur("X") )) (( b|facteur("so*x") )) (( (a*absalpha**2)|facteur("so") )) (( beta|facteur("so") ))\\
&= (( a|facteur("X") )) (( b|facteur("so*x") )) (( c|facteur("so") ))\\
&= f\,(x)
\end{align*}
\end{enumerate}
\item Résoudre les équations suivantes en choisissant la forme appropriée de $f$.
\begin{enumerate}
\item En prenant la forme factorisée, l'équation $f(x)=0$ est équivalente à l'équation produit nul $(( a|facteur ))(x (( -x1|facteur("so") )) )(x (( -x2|facteur("so") )) ) = 0$. Donc :
\item En prenant la forme factorisée, l'équation $f\,(x)=0$ est équivalente à l'équation produit nul $(( a|facteur ))\,(x (( -x1|facteur("so") )) )\,(x (( -x2|facteur("so") )) ) = 0$. Donc :
\begin{align*}
x (( -x1|facteur("so") ))=0 &\text{ ou } x (( -x2|facteur("so") ))=0 \\
x=(( x1|facteur )) &\text{ ou } x=(( x2|facteur ))
\end{align*}
Il y a donc deux solutions : $(( x1|facteur ))$ et $(( x2|facteur ))$.
\item $f(x)=(( c|facteur ))$ On remarque que la forme développée contient la constante $(( c|facteur ))$ : celles-ci devraient donc s'annuler, pour simplifier notre résolution.
\item $f\,(x)=(( c|facteur ))$ On remarque que la forme développée contient la constante $(( c|facteur ))$ : celles-ci devraient donc s'annuler, pour simplifier notre résolution.
\begin{align*}
f(x) &= (( c|facteur )) \\
(( a|facteur ))x^2 (( b|facteur("so*x") )) (( c|facteur("so") )) &= (( c|facteur )) \\
(( a|facteur ))x^2 (( b|facteur("so*x") )) (( c|facteur("so") )) (( -c|facteur("so") )) &= (( c|facteur )) (( -c|facteur("so") )) \\
(( a|facteur ))x^2 (( b|facteur("so*x") )) &= 0 \\
f\,(x) &= (( c|facteur )) \\
(( a|facteur("X") )) (( b|facteur("so*x") )) (( c|facteur("so") )) &= (( c|facteur )) \\
(( a|facteur("X") )) (( b|facteur("so*x") )) (( c|facteur("so") )) (( -c|facteur("so") )) &= (( c|facteur )) (( -c|facteur("so") )) \\
(( a|facteur("X") )) (( b|facteur("so*x") )) &= 0 \\
\end{align*}
Nous pouvons maintenant factoriser le membre de gauche par $x$, ce qui nous donnera une équation produit nul.
\begin{align*}
(( a|facteur ))x^2 (( b|facteur("so*x") )) &= 0 \\
(( a|facteur ))x\times x (( b|facteur("so") ))\times x &= 0 \\
x\left( (( a|facteur ))x (( b|facteur("so") )) \right) &= 0 \\
(( a|facteur("X") )) (( b|facteur("so*x") )) &= 0 \\
(( a|facteur("x") ))\times x (( b|facteur("so") ))\times x &= 0 \\
x\,\left( (( a|facteur("x") )) (( b|facteur("so") )) \right) &= 0 \\
\end{align*}
\begin{align*}
x =0 &\text{ ou } (( a|facteur ))x (( b|facteur("so") ))=0 \\
x =0 &\text{ ou } (( a|facteur ))x =(( -b|facteur )) \\
x =0 &\text{ ou } (( a|facteur("x") )) (( b|facteur("so") ))=0 \\
x =0 &\text{ ou } (( a|facteur("x") )) =(( -b|facteur )) \\
x =0 &\text{ ou } x = \frac{(( -b|facteur ))}{(( a|facteur ))} \\
x =0 &\text{ ou } x = (( -(b/a)|facteur )) \\
\end{align*}
Il y a donc deux solutions : $x=0$ et $x=(( -(b/a)|facteur ))$.
\item $f(x)=(( beta|facteur ))$ On remarque que la forme canonique contient la constante $(( beta|facteur ))$ : en l'utilisant, elles devraient se simplifier.
\item $f\,(x)=(( beta|facteur ))$ On remarque que la forme canonique contient la constante $(( beta|facteur ))$ : en l'utilisant, elles devraient se simplifier.
\begin{align*}
f(x) &= (( beta|facteur)) \\
(( a|facteur )) \left( x (( -alpha|facteur("so") )) \right)^2 (( beta|facteur("so") )) &= (( beta|facteur ))\\
(( a|facteur )) \left( x (( -alpha|facteur("so") )) \right)^2 (( beta|facteur("so") )) (( -beta|facteur("so") )) &= (( beta|facteur )) (( -beta|facteur("so") ))\\
(( a|facteur )) \left( x (( -alpha|facteur("so") )) \right)^2 &= 0\\
f\,(x) &= (( beta|facteur)) \\
(( a|facteur )) \,\left( x (( -alpha|facteur("so") )) \right)^2 (( beta|facteur("so") )) &= (( beta|facteur ))\\
(( a|facteur )) \,\left( x (( -alpha|facteur("so") )) \right)^2 (( beta|facteur("so") )) (( -beta|facteur("so") )) &= (( beta|facteur )) (( -beta|facteur("so") ))\\
(( a|facteur )) \,\left( x (( -alpha|facteur("so") )) \right)^2 &= 0\\
\left( x (( -alpha|facteur("so") )) \right)^2 &= 0\\
\end{align*}
Or $0$ est le seul nombre dont le carré est nul, donc l'équation précédente est équivalente à :
......@@ -75,7 +75,7 @@ Il y a donc une unique solution $x=(( alpha|facteur ))$.
donc la fonction est
(* if a > 0 *) décroissante puis croissante (* else *) croissante puis décroissante (* endif *).
De plus, l'absisse du sommet est $-\frac{(( b|facteur ))}{2\times(( a|facteur("p") ))}$, soit $(( alpha|facteur ))$, et
$f( (( alpha|facteur )) )=(( a|facteur ))\times(( alpha|facteur("p") ))^2 (( b|facteur("so") ))\times (( alpha|facteur("p") )) (( c|facteur("so") ))=(( beta|facteur ))$.
$f\,( (( alpha|facteur )) )=(( a|facteur ))\times(( alpha|facteur("p") ))^2 (( b|facteur("so") ))\times (( alpha|facteur("p") )) (( c|facteur("so") ))=(( beta|facteur ))$.
Le tableau de variations est donc :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
......@@ -89,7 +89,7 @@ Le tableau de variations est donc :
(* endif *)
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item \emph{Dresser le tableau de signes de $f$.} Construisons un tableau de signes en utilisant la forme factorisée $f(x)=(( a|facteur )) \left(x (( -x1|facteur("so") ))\right) \left(x (( -x2|facteur("so") ))\right)$.
\item \emph{Dresser le tableau de signes de $f$.} Construisons un tableau de signes en utilisant la forme factorisée $f\,(x)=(( a|facteur )) \,\left(x (( -x1|facteur("so") ))\right) \, \left(x (( -x2|facteur("so") ))\right)$.
\begin{itemize}
\item Le premier facteur $x (( -x1|facteur("so") ))$ est une fonction affine, de coefficient directeur $a=1$ positif, et d'ordonnée à l'origine $b=(( -x1|facteur ))$. Elle est donc négative, puis positive, et change de signe en $-\frac{b}{a}=-\frac{(( -x1|facteur ))}{1}=(( x1|facteur ))$.
......@@ -103,7 +103,7 @@ Le tableau de variations est donc :
$(( a|facteur ))$/1,
$x (( -x1|facteur("so") ))$/1,
$x (( -x2|facteur("so") ))$/1,
$f(x)=(( a|facteur ))\left( x (( -x1|facteur("so") )) \right) \left( x (( -x2|facteur("so") )) \right)$/1.5
$f\,(x)=(( a|facteur ))\,\left( x (( -x1|facteur("so") )) \right)\,\left( x (( -x2|facteur("so") )) \right)$/1.5
}
{$-\infty$, $(( (x1, x2)|min|facteur ))$, $(( (x1, x2)|max|facteur ))$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, (( a|signe )), t, (( a|signe )), t, (( a|signe ))}
......@@ -120,13 +120,13 @@ Le tableau de variations est donc :
\end{enumerate}
\item Répondre aux questions suivantes en utilisant le tableau de signes ou de variations.
\begin{enumerate}
\item \emph{Résoudre $f(x)\geq0$.} En regardant la dernière ligne du tableau de signes, on observe que $f$ est positive sur
\item \emph{Résoudre $f\,(x)\geqslant0$.} En regardant la dernière ligne du tableau de signes, on observe que $f$ est positive sur
(* if a > 0 *) les premier et dernier intervalles (* else *) l'intervalle central (* endif *).
Les solutions sont donc :
(* if a > 0 *)
\[x\in\left]-\infty; (( (x1, x2)|min|facteur ))\right] \cup \left[ (( (x1, x2)|max|facteur )); +\infty\right[\]
\[ x\in\interval[open left, scaled]{-\infty; (( (x1, x2)|min|facteur ))} \cup \interval[open right, scaled]{(( (x1, x2)|max|facteur ))}{+\infty} \]
(* else *)
\[ x\in\left[ (( (x1, x2)|min|facteur )) ; (( (x1, x2)|max|facteur )) \right] \]
\[ x\in\interval[scaled]{(( (x1, x2)|min|facteur ))}{(( (x1, x2)|max|facteur ))} \]
(* endif *)
\item \emph{Quel est l'extremum de $f$ ? Est-ce un maximum ou un minimum ? Pour quelle valeur de $x$ est-il atteint ?} On lit sur le tableau de variations que la plus
(* if a > 0 *) petite (* else *) grande (* endif *)
......
\exercice
On considère le trinôme du second degré $f: x\mapsto (( a|facteur )) x^2 (( b|facteur("*sox") )) (( c|facteur("so") ))$.
On considère le trinôme du second degré $f: x\mapsto (( a|facteur("X") )) (( b|facteur("*sox") )) (( c|facteur("so") ))$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a : $f(x)=(( a|facteur )) \left( x (( -x1|facteur("so") )) \right) \left( x (( -x2|facteur("so") )) \right) $.
\item Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a : $f(x)=(( a|facteur ))\left( x (( -alpha|facteur("so") )) \right)^2 (( beta|facteur("so") ))$.
\item Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a : $f\,(x)=(( a|facteur )) \,\left( x (( -x1|facteur("so") )) \right) \, \left( x (( -x2|facteur("so") )) \right) $.
\item Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a : $f\,(x)=(( a|facteur )) \,\left( x (( -alpha|facteur("so") )) \right)^2 (( beta|facteur("so") ))$.
\end{enumerate}
\item Résoudre les équations suivantes en choisissant la forme appropriée de $f$.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=0$
\item $f(x)=(( c|facteur ))$
\item $f(x)=(( beta|facteur ))$
\item $f\,(x)=0$
\item $f\,(x)=(( c|facteur ))$
\item $f\,(x)=(( beta|facteur ))$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
......@@ -20,7 +20,7 @@ On considère le trinôme du second degré $f: x\mapsto (( a|facteur )) x^2 (( b
\end{enumerate}
\item Répondre aux questions suivantes en utilisant le tableau de signes ou de variations.
\begin{enumerate}
\item Résoudre $f(x)\geq0$.
\item Résoudre $f(x)\geqslant0$.
\item Quel est l'extremum de $f$ ? Est-ce un maximum ou un minimum ? Pour quelle valeur de $x$ est-il atteint ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
......@@ -8,20 +8,20 @@ Puisque $P$ est l'état stable, alors $P=P\times M$.
(( (1-b)|facteur )) & (( b|facteur )) \\
\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix}
(( a|facteur )) x + (( (1-b)|facteur )) y & (( (1-a)|facteur )) x + (( b|facteur )) y
(( a|facteur("x") )) + (( (1-b)|facteur("y") )) & (( (1-a)|facteur("x") )) + (( b|facteur("y") ))
\end{pmatrix}
\end{align*}
Or $\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}=P=P\times M$, donc les coefficients des matrices sont deux à deux égaux, donc $x=(( a )) x + (( 1-b )) y$.
Or $\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}=P=P\times M$, donc les coefficients des matrices sont deux à deux égaux, donc $x=(( a|facteur("x") )) + (( (1-b)|facteur("y") ))$.
D'autre part, puisque $P$ est un état probabiliste, alors $x+y=1$, donc $y=1-x$. Donc, en remplaçant $y$ par $1-x$ dans l'équation précédente, on obtient :
\begin{align*}
x &= (( a|facteur )) x + (( (1-b)|facteur )) (1-x) \\
x &= (( a|facteur )) x + (( (1-b)|facteur )) - (( (1-b)|facteur ))x\\
x-(( a|facteur )) x +(( (1-b)|facteur ))x &= (( (1-b)|facteur ))\\
(1-(( a|facteur ))+(( (1-b)|facteur )))x &= (( (1-b)|facteur ))\\
(( (2-a-b)|facteur )) x &= (( (1-b)|facteur ))\\
x &= (( a|facteur("x") )) + (( (1-b)|facteur ))\,(1-x) \\
x &= (( a|facteur("x") )) + (( (1-b)|facteur )) - (( (1-b)|facteur("x") ))\\
x-(( a|facteur("x") )) +(( (1-b)|facteur("x") )) &= (( (1-b)|facteur ))\\
(1-(( a|facteur ))+(( (1-b)|facteur ))) \,x &= (( (1-b)|facteur ))\\
(( (2-a-b)|facteur("x") )) &= (( (1-b)|facteur ))\\
x &= \frac{(( (1-b)|facteur ))}{(( (2-a-b)|facteur ))}\\
x &= (( ((1-b)/(2-a-b))|facteur ))
\end{align*}
......
\exercice*
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item Puisque $A( (( X[0]|facteur )) ; (( Y[0]|facteur )) )$ est sur la courbe de $f$, alors $f( (( X[0]|facteur )) )=(( Y[0]|facteur ))$, soit
\item Puisque $A\,( (( X[0]|facteur ))~;~(( Y[0]|facteur )) )$ est sur la courbe de $f$, alors $f\,( (( X[0]|facteur )) )=(( Y[0]|facteur ))$, soit
$a \times (( X[0]|facteur ))^2+b\times (( X[0]|facteur ))+c=(( Y[0]|facteur ))$,
c'est-à-dire $(( (X[0]**2)|facteur ))a + (( X[0]|facteur ))b + c = (( Y[0]|facteur ))$.
\item De même, puisque $B( (( X[1]|facteur )) ; (( Y[1]|facteur )) )$ est sur la courbe de $f$, alors $f( (( X[1]|facteur )) )=(( Y[1]|facteur ))$, soit
c'est-à-dire $(( (X[0]**2)|facteur(variable="a") )) + (( X[0]|facteur(variable="b") )) + c = (( Y[0]|facteur ))$.
\item De même, puisque $B\,( (( X[1]|facteur ))~;~(( Y[1]|facteur )) )$ est sur la courbe de $f$, alors $f\,( (( X[1]|facteur )) )=(( Y[1]|facteur ))$, soit
$a \times (( X[1]|facteur ))^2+b\times (( X[1]|facteur ))+c=(( Y[1]|facteur ))$,
c'est-à-dire $(( (X[1]**2)|facteur ))a + (( X[1]|facteur ))b + c = (( Y[1]|facteur ))$.
\item Enfin, puisque $C( (( X[2]|facteur )) ; (( Y[2]|facteur )) )$ est sur la courbe de $f$, alors $f( (( X[2]|facteur )) )=(( Y[2]|facteur ))$, soit
c'est-à-dire $(( (X[1]**2)|facteur(variable="a") )) + (( X[1]|facteur(variable="b") )) + c = (( Y[1]|facteur ))$.
\item Enfin, puisque $C\,( (( X[2]|facteur ))~;~(( Y[2]|facteur )) )$ est sur la courbe de $f$, alors $f\,( (( X[2]|facteur )) )=(( Y[2]|facteur ))$, soit
$a \times (( X[2]|facteur ))^2+b\times (( X[2]|facteur ))+c=(( Y[2]|facteur ))$,
c'est-à-dire $(( (X[2]**2)|facteur ))a + (( X[2]|facteur ))b + c = (( Y[2]|facteur ))$.
c'est-à-dire $(( (X[2]**2)|facteur(variable="a") )) + (( X[2]|facteur(variable="b") )) + c = (( Y[2]|facteur ))$.
\end{itemize}
On en déduit le système suivant :
\[ \left\{\begin{array}{rcl}
(( (X[0]**2)|facteur ))a + (( X[0]|facteur ))b + c &=& (( Y[0]|facteur )) \\
(( (X[1]**2)|facteur ))a + (( X[1]|facteur ))b + c &=& (( Y[1]|facteur )) \\
(( (X[2]**2)|facteur ))a + (( X[2]|facteur ))b + c &=& (( Y[2]|facteur )) \\
(( (X[0]**2)|facteur(variable="a") )) + (( X[0]|facteur(variable="b") )) + c &=& (( Y[0]|facteur )) \\
(( (X[1]**2)|facteur(variable="a") )) + (( X[1]|facteur(variable="b") )) + c &=& (( Y[1]|facteur )) \\
(( (X[2]**2)|facteur(variable="a") )) + (( X[2]|facteur(variable="b") )) + c &=& (( Y[2]|facteur )) \\
\end{array}\right.\]
\item
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{rcl}
(( (X[0]**2)|facteur ))a + (( X[0]|facteur ))b + c &=& (( Y[0]|facteur )) \\
(( (X[1]**2)|facteur ))a + (( X[1]|facteur ))b + c &=& (( Y[1]|facteur )) \\
(( (X[2]**2)|facteur ))a + (( X[2]|facteur ))b + c &=& (( Y[2]|facteur )) \\
(( (X[0]**2)|facteur(variable="a") )) + (( X[0]|facteur(variable="b") )) + c &=& (( Y[0]|facteur )) \\
(( (X[1]**2)|facteur(variable="a") )) + (( X[1]|facteur(variable="b") )) + c &=& (( Y[1]|facteur )) \\
(( (X[2]**2)|facteur(variable="a") )) + (( X[2]|facteur(variable="b") )) + c &=& (( Y[2]|facteur )) \\
\end{array}\right.
&\iff
\begin{pmatrix}
(( (X[0]**2)|facteur ))a + (( X[0]|facteur ))b + c \\
(( (X[1]**2)|facteur ))a + (( X[1]|facteur ))b + c \\
(( (X[2]**2)|facteur ))a + (( X[2]|facteur ))b + c \\
(( (X[0]**2)|facteur(variable="a") )) + (( X[0]|facteur(variable="b") )) + c \\
(( (X[1]**2)|facteur(variable="a") )) + (( X[1]|facteur(variable="b") )) + c \\
(( (X[2]**2)|facteur(variable="a") )) + (( X[2]|facteur(variable="b") )) + c \\
\end{pmatrix} = (( Y|zip|matrice ))\\
&\iff
(( M|matrice)) \times (( [["a"], ["b"], ["c"]]|matrice )) = (( Y|zip|matrice )) \\
&\iff M X=R
&\iff M\, X=R
\end{align*}
Avec : $M= (( M|matrice ))$, $X= (( [["a"], ["b"], ["c"]]|matrice ))$ et $R= (( Y|zip|matrice ))$.
\end{enumerate}
\item
Comme $M$ est inversible, et que $MX = R$, alors $X = M^{-1}\times R$. À la calculatrice, on obtient
$M^{-1}\times R=(( M|matrice ))^{-1}\times ((Y|zip|matrice)) = (( A|zip|matrice ))$.
Comme $M$ est inversible, et que $M\,X = R$, alors $X = M^{-1}\times R$.
À la calculatrice, on obtient
$M^{-1}\times R=(( M|matrice ))^{-1}\times ((Y|zip|matrice)) = (( A|zip|matrice ))$.
Ainsi, $a=(( A[0]|facteur ))$, $b=(( A[1]|facteur ))$, et $c=(( A[2]|facteur ))$.
\item
En utilisant les valeurs de $a$, $b$, et $c$ calculées précédemment, nous connaissons l'expression de la fonction : $f(x) = (( A[0]|facteur ))x^2 + (( A[1]|facteur))x + (( A[2]|facteur ))$.
En utilisant les valeurs de $a$, $b$, et $c$ calculées précédemment, nous connaissons l'expression de la fonction : $f\,(x) = (( A[0]|facteur("X") )) (( A[1]|facteur("x", signe=True))) (( A[2]|facteur(signe=True) ))$.
Nous pouvons maintenant calculer l'image de $(( x|facteur ))$ par cette fonction :
\begin{align*}
f( (( x|facteur )) )
&= (( A[0]|facteur )) \times (( x|facteur ))^2 + (( A[1]|facteur )) \times (( x|facteur)) + (( A[2]|facteur ))\\
f\,( (( x|facteur )) )
&= (( A[0]|facteur )) \times (( x|facteur ))^2 (( A[1]|facteur(signe=True) )) \times (( x|facteur)) (( A[2]|facteur(signe=True) ))\\
&= (( (A[0]*x**2+A[1]*x+A[2])|facteur ))
\end{align*}
Donc $f( (( x|facteur )) ) = (( (A[0]*x**2+A[1]*x+A[2])|facteur ))$.
Donc $f\,( (( x|facteur )) ) = (( (A[0]*x**2+A[1]*x+A[2])|facteur ))$.
\end{enumerate}
\exercice
Dans un repère orthonormé, on cherche à déterminer l'équation d'une fonction dont la courbe passe par les points
$A( (( X[0]|facteur )) ; (( Y[0]|facteur )) )$,
$B( (( X[1]|facteur )) ; (( Y[1]|facteur )) )$ et
$C( (( X[2]|facteur )) ; (( Y[2]|facteur )) )$.
$A\,( (( X[0]|facteur )) ~;~ (( Y[0]|facteur )) )$,
$B\,( (( X[1]|facteur )) ~;~ (( Y[1]|facteur )) )$ et
$C\,( (( X[2]|facteur )) ~;~ (( Y[2]|facteur )) )$.
On cherche un trinôme du second degré, c'est-à-dire une fonction $f$ définie sur $]-\infty ; +\infty[$ par $f(x) = ax^2 + bx + c$$a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels, que l'on cherche à déterminer.
On cherche un trinôme du second degré, c'est-à-dire une fonction $f$ définie sur $\interval[open]{-\infty}{+\infty}$ par
\mbox{$f\,(x) = a\,x^2 + b\,x + c$}$a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels, que l'on cherche à déterminer.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item À partir des données de l'énoncé, écrire un système d'équations traduisant cette situation.
\item En déduire que le système précédent est équivalent à : $MX = R$ avec
\item En déduire que le système précédent est équivalent à : $M\,X = R$ avec
$M = (( M|matrice ))$, $X= (( [["a"], ["b"], ["c"]]|matrice ))$ et $R$ une matrice colonne que l'on précisera.
\end{enumerate}
......@@ -18,6 +20,6 @@ On cherche un trinôme du second degré, c'est-à-dire une fonction $f$ définie
\setcounter{enumi}{1}
\item On admet que la matrice $M$ est inversible.
Déterminer les valeurs des cœfficients $a$, $b$ et $c$, en détaillant les calculs.
\item Quelle est la valeur de $f( (( x|facteur )) )$ ?
\item Quelle est la valeur de $f\,( (( x|facteur )) )$ ?
\end{enumerate}
......@@ -21,6 +21,7 @@
\usepackage{wrapfig} % allows figures or tables to have text wrapped around
\usepackage{pst-eucl, pst-plot} % figures géométriques
\usepackage{enumitem}
\usepackage{interval}
\usepackage{wasysym} % Symbole Euro
\usepackage{mathtools} % Encadrement dans align*
\usepackage[inline]{asymptote}
......@@ -35,6 +36,7 @@
ps2eps -f "\image.ps"
}
}
\intervalconfig{ separator symbol={\,;\,}}
%\usepackage{textcomp}
......
......@@ -21,6 +21,7 @@
\usepackage{wrapfig} % allows figures or tables to have text wrapped around
\usepackage{pst-eucl, pst-plot} % figures géométriques
\usepackage{enumitem}
\usepackage{interval}
\usepackage{wasysym} % Symbole Euro
\usepackage{mathtools} % Encadrement dans align*
\usepackage[inline]{asymptote}
......@@ -35,6 +36,7 @@
ps2eps -f "\image.ps"
}
}
\intervalconfig{ separator symbol={\,;\,}}
%\usepackage{textcomp}
......
......@@ -2808,7 +2808,7 @@ msgid "Sens de variations"
msgstr "Intervals de monotonia"
#: src/pyromaths/ex/lycee/ExoPolynome.py:284
msgid "0.Term STG"
msgid "0.Term STMG"
msgstr "0.2n Batxillerat"
#: src/pyromaths/ex/lycee/ExoPolynome.py:302
......
......@@ -1851,7 +1851,7 @@ msgid "Sens de variations"
msgstr ""
#: src/pyromaths/ex/lycee/ExoPolynome.py:284
msgid "0.Term STG"
msgid "0.Term STMG"
msgstr ""
#: src/pyromaths/ex/lycee/ExoPolynome.py:302
......
......@@ -2566,7 +2566,7 @@ msgid "Sens de variations"
msgstr "Las variaciones en el significado"
#: src/pyromaths/ex/lycee/ExoPolynome.py:284
msgid "0.Term STG"
msgid "0.Term STMG"
msgstr "0.2º Bachillerato"
#: src/pyromaths/ex/lycee/ExoPolynome.py:302
......
......@@ -1849,7 +1849,7 @@ msgid "Sens de variations"
msgstr ""
#: src/pyromaths/ex/lycee/ExoPolynome.py:284
msgid "0.Term STG"
msgid "0.Term STMG"
msgstr ""
#: src/pyromaths/ex/lycee/ExoPolynome.py:302
......
......@@ -1849,7 +1849,7 @@ msgid "Sens de variations"
msgstr ""
#: src/pyromaths/ex/lycee/ExoPolynome.py:284
msgid "0.Term STG"
msgid "0.Term STMG"
msgstr ""
#: src/pyromaths/ex/lycee/ExoPolynome.py:302
......
......@@ -281,7 +281,7 @@ def exo_variation():
return exo, cor
exo_variation.description = _(u"Sens de variations")
exo_variation.level = [_(u"1.1èreS"), _(u"0.Term STG")]
exo_variation.level = [_(u"1.1èreS"), _(u"0.Term STMG")]
def exo_variation_lim():
......
......@@ -59,7 +59,7 @@ CANDIDATS = [
class EtatStableSysteme2(Jinja2Exercice):
description = u"Recherche d'état stable (avec un système)"
level = u"0.TermES"
level = u"0.Term ES"
def __init__(self):
super(EtatStableSysteme2, self).__init__()
......@@ -83,7 +83,7 @@ class InterpolationMatrices(Jinja2Exercice):
# Plus ou moins inspiré du sujet de bac ES Amérique du Nord, juin 2015.
description = u"Interpolation polynomiale en utilisant des matrices"
level = u"0.TermES"
level = u"0.Term ES"
def __init__(self):
super(InterpolationMatrices, self).__init__()
......
......@@ -248,13 +248,26 @@ def facteur(nombre, court="",
else:
strabsolu = "{}.{}".format(entier, decimal)
# Ajoute une espace fine entre les coefficients et les variables
if variable:
if absolu != 1 : variable= r'\,'+variable
else: absolu=""
# Ajout éventuel des parenthèses
if parentheses and nombre < 0:
formatter = r"\left(\numprint{{{signe}{absolu}}}{variable}\right)"
elif operation:
formatter = r"{signe}\numprint{{{absolu}}}{variable}"
else:
formatter = r"\numprint{{{signe}{absolu}}}{variable}"
if absolu:
if parentheses and nombre < 0:
formatter = r"\left(\numprint{{{signe}{absolu}}}{variable}\right)"
elif operation:
formatter = r"{signe}\numprint{{{absolu}}}{variable}"
else:
formatter = r"\numprint{{{signe}{absolu}}}{variable}"
else: # supprime le 1 devant la variable
if parentheses and nombre < 0:
formatter = r"\left({signe}{variable}\right)"
elif operation:
formatter = r"{signe}{variable}"
else:
formatter = r"{signe}{variable}"
# Enfin !
return formatter.format(
......
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