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\documentclass[a4,12pt,frenchb]{article}
\input{../commons.tex.inc}
\title{Additionner des fractions}
\author{Vincent-Xavier \bsc{Jumel}}
\date{septembre 2017}
\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\begin{mdframed}
Pour additionner deux fractions, il faut qu'elles aient le même
dénominateur (le nombre du dessous, qui nomme la fraction). Si ce n'est
pas le cas, il faut trouver un dénominateur commun.
Quelques exemples pour comprendre :
\begin{itemize}
\item Pour additionner $\frac37$ et $\frac27$, on remarque que les
dénominateurs sont identiques (ici 7) et on a \[ \frac37 + \frac27 =
\frac{3+2}7 = \frac57. \]
\item Pour addition $\frac34$ et $\frac58$, on remarque que les
dénominateurs sont différents, mais que $8 = 4\times 2$. On multiplie
la première fraction par 2 au numérateur et au dénominateur et on a \[
\frac34 + \frac58 = \frac68 + \frac58 = \frac{11}8 . \]
\item Pour additionner $\frac35$ et $\frac13$, on remarque que les
dénominateurs n'ont rien en commun. On peut prendre leur
produit\footnote{en vrai, le PGCD suffit}. Ainsi, on a \[ \frac35 +
\frac13 = \frac{3 \times 3}{5 \times 3} + \frac{1\times 5}{3\times
5} = \frac{9 + 5}{15} = \frac{14}{15}. \]
\end{itemize}
Pour la soustraction, on procède de la même façon.
\end{mdframed}
\emph{Effectuer les calculs}
\tikz{
\pgfmathsetmacro{\numerateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\denominateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\numerateurb}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\denominateurb}{random(9)}
\draw (0,0) node {$\dfrac{\numerateura}{\denominateura} +
\dfrac{\numerateurb}{\denominateurb} $}
} \ligne{1}
\tikz{
\pgfmathsetmacro{\numerateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\denominateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\numerateurb}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\denominateurb}{random(9)}
\draw (0,0) node {$\dfrac{\numerateura}{\denominateura} +
\dfrac{\numerateurb}{\denominateurb} $}
} \ligne{1}
\tikz{
\pgfmathsetmacro{\numerateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\denominateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\numerateurb}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\denominateurb}{random(9)}
\draw (0,0) node {$\dfrac{\numerateura}{\denominateura} +
\dfrac{\numerateurb}{\denominateurb} $}
} \ligne{1}
\tikz{
\pgfmathsetmacro{\numerateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\denominateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\numerateurb}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\denominateurb}{random(9)}
\draw (0,0) node {$\dfrac{\numerateura}{\denominateura} +
\dfrac{\numerateurb}{\denominateurb} $}
} \ligne{1}
\tikz{
\pgfmathsetmacro{\numerateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\denominateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\numerateurb}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\denominateurb}{random(9)}
\draw (0,0) node {$\dfrac{\numerateura}{\denominateura} -
\dfrac{\numerateurb}{\denominateurb} $}
} \ligne{1}
\tikz{
\pgfmathsetmacro{\numerateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\denominateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\numerateurb}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\denominateurb}{random(9)}
\draw (0,0) node {$\dfrac{\numerateura}{\denominateura} -
\dfrac{\numerateurb}{\denominateurb} $}
} \ligne{1}
\end{document}
\documentclass[a4,12pt,frenchb]{article}
\input{../commons.tex.inc}
\title{Calculer avec des racines}
\author{Vincent-Xavier \bsc{Jumel}}
\date{septembre 2017}
\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\begin{mdframed}
La racine carrée d'un nombre donné est le nombre positif qui élévé au
carré donne le nombre de départ. \\ Exemple : 5 est la racine de 25,
$\sqrt{2}$ est la racine de 2. \\ Comme le nombre donné est interprété
comme un carré, on ne peut calculer que la racine carrée d'un nombre
positif.\\ Les règles de calculs sont
\begin{itemize}
\item le produit de deux racines est la racine du produit : $\sqrt{3}
\times \sqrt{5} = \sqrt{3 \times 5} = \sqrt{15}$ ;
\item la somme de deux racines est différente de la racine de la somme :
$\sqrt{2} + \sqrt{3} \neq \sqrt{5}$.
\end{itemize}
\end{mdframed}
\emph{Développer et réduire}
$(1 + \sqrt{2})^2$ \ligne{1}
$(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})$ \ligne{1}
$(4 - 3\sqrt{6})^2$ \ligne{1}
$(\sqrt{12} - 2\sqrt{7})(\sqrt{12} + 2\sqrt{7})$ \ligne{1}
\end{document}
\documentclass[a4paper,12pt,frenchb]{article}
\input{../commons.tex.inc}
\title{Développer et réduire une somme}
\author{Vincent-Xavier \bsc{Jumel}}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\begin{mdframed}
Pour développer (on parle aussi de distribuer), on ouvre des boîtes
identiques, et on réordonne le contenu. Pour factoriser, on effectue
l'opération réciproque (quand c'est possible). On a donc
\begin{itemize}
\item $3\times (4 + 10) = 3\times 4 + 3 \times 10 = 42$
\item $3\times (4 + x) = 3 \times 4 + 3 \times x = 12 + 3x$
\item $k(4 + 10) = 4k + 10k$
\item $(3 + 20)(4 + 10) = 3 \times 4 + 3 \times 10 + 20 \times 4 + 20
\times 10$
\end{itemize}
Attention, lorsqu'il y a des soustractions, il faut écrire sous la forme
d'une somme algébrique et respecter la règle des signes.\\ Pour réduire la
forme finale, on regroupe les termes par «lettre», en les ordonnant en
puissance décroissante ou croissante : $(3 - x)(2 + 3x) = 3\times 2 + 3
\times 3x - x \times 2 - x\times 3x = 6 + 9x - 2x - 3x^2 = 6 + 7x - 3x^2 =
-3x^2 + 7x + 6$
\end{mdframed}
\emph{Développer et réduire}
\tikz{
\pgfmathsetmacro{\a}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\b}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\c}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\d}{random(9)}
\draw (0,0) node {$ \a \times (\b + \c) $ }
} \ligne{1}
\tikz{
\pgfmathsetmacro{\a}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\b}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\c}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\d}{random(9)}
\draw (0,0) node {$ \a \times (\b - \c) $ }
} \ligne{1}
\tikz{
\pgfmathsetmacro{\a}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\b}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\c}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\d}{random(9)}
\draw (0,0) node {$ \a \times (\b + x) $ }
} \ligne{1}
\tikz{
\pgfmathsetmacro{\a}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\b}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\c}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\d}{random(9)}
\draw (0,0) node {$ \a \times (\b - y) $ }
} \ligne{1}
\tikz{
\pgfmathsetmacro{\a}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\b}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\c}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\d}{random(9)}
\draw (0,0) node {$ (\a + x) \times (\b + \c) $ }
} \ligne{1}
\tikz{
\pgfmathsetmacro{\a}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\b}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\c}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\d}{random(9)}
\draw (0,0) node {$ (\a + x) \times (x + \c) $ }
} \ligne{1}
\tikz{
\pgfmathsetmacro{\a}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\b}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\c}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\d}{random(9)}
\draw (0,0) node {$ (\a - x) \times (x + \c) $ }
} \ligne{1}
\end{document}
\documentclass[a4paper,12pt,frenchb]{article}
\input{../commons.tex.inc}
\title{Identifier le domaine de définition d'une fonction}
\author{Vincent-Xavier \bsc{Jumel}}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
Une fonction est définie par un ensemble de définition et un ensemble
image. Souvent ces deux ensembles sont donnés \emph{a priori} mais
parfois non. C'est souvent le cas lorsque la fonction est définie par un
graphique ou par une expression.
\begin{mdframed}
Pour donner l'ensemble de définition, on le note souvent sous la forme
d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalle.
\begin{itemize}
\item Pour une fonction définie par une expression, ce sont les
intervalles où la fonction est «calculable».
Exemple : $x\mapsto \sqrt{x}$ est définie sur
$\intv[r]{0}{+\infty}$
\item Pour une fonction pour laquelle on dispose d'une
représentation graphique, cela correspond aux abscisses qui
possèdent une seule image.
Exemple : la fonction suivante est définie sur $\intv[l]{-2}{4}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw [->] (-3,0) -- (5,0) ;
\foreach \i in {-2,...,4} { \draw (\i,0.07) -- (\i,-0.07) node
[below left] {\small \i} ; } ;
\foreach \i in {-1,1,2} { \draw (0.07,\i) -- (-0.07,\i) node
[below left] {\small \i} ; } ;
\draw [->] (0,-1) -- (0,3) ;
\draw [)-o] plot [domain=-2:4,smooth] (\x, {-0.1*(\x - 2)^2 + 2} ) ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{mdframed}
\begin{exercise}
Donner les ensembles de définition des fonctions suivantes :
\begin{enumerate}
\item $f: x \mapsto \dfrac{1}{x - 3}$
\item $f: x \mapsto \sqrt{x + 2}$
\item $f: x \mapsto x^2 - 3x + 2$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Donner l'ensemble de définition des fonctions dont le graphique est
donné ci dessous.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw [->] (-3,0) -- (5,0) ;
\foreach \i in {-2,...,4} { \draw (\i,0.07) -- (\i,-0.07) node
[below left] {\small \i} ; } ;
\foreach \i in {-3,-2,-1} { \draw (0.07,\i) -- (-0.07,\i) node
[below left] {\small \i} ; } ;
\draw [->] (0,-3) -- (0,1) ;
\draw [o-o] plot [domain=-2:3,smooth] (\x, {2-4/sqrt(4-\x) } ) ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw [->] (-3,0) -- (5,0) ;
\foreach \i in {-2,...,4} { \draw (\i,0.07) -- (\i,-0.07) node
[below left] {\small \i} ; } ;
\foreach \i in {-1,1,2} { \draw (0.07,\i) -- (-0.07,\i) node
[below left] {\small \i} ; } ;
\draw [->] (0,-1) -- (0,3) ;
\draw [o-o] plot [domain=-2:0,smooth] (\x, {0.5*sqrt((\x*(\x-1))} ) ;
\draw [o-o] plot [domain=1:4,smooth] (\x, {0.5*sqrt((\x*(\x-1))} ) ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\end{document}
\documentclass[a4paper,12pt,frenchb]{article}
\input{../commons.tex.inc}
\title{Déterminer images et antécédents}
\author{Vincent-Xavier \bsc{Jumel}}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\begin{mdframed}
Une fonction est un processus qui, à un nombre d'un ensemble de départ (on
dit aussi de définition), associe un unique nombre dans un ensemble
d'arrivée.
Un ensemble de départ est :
\begin{itemize}
\item un des ensembles connus, comme $\N$ ou $\R$ ;
\item une partie de $\R$ -- on utilise la notation d'intervalle ;
\item une «collection» de nombres (ou d'autres choses).
\end{itemize}
\end{mdframed}
\begin{exercise}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
%\pgfmathsetmacro{\numerateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\xa}{-1} ;
\pgfmathsetmacro{\ya}{3/2} ;
\pgfmathsetmacro{\toxa}{1} ;
\pgfmathsetmacro{\toya}{2} ;
\pgfmathsetmacro{\tixb}{1} ;
\pgfmathsetmacro{\tiyb}{0} ;
\pgfmathsetmacro{\xb}{2} ;
\pgfmathsetmacro{\yb}{4} ;
\pgfmathsetmacro{\toxb}{\tixb} ;
\pgfmathsetmacro{\toyb}{\tiyb} ;
\pgfmathsetmacro{\tixc}{1} ;
\pgfmathsetmacro{\tiyc}{0} ;
\pgfmathsetmacro{\xc}{4} ;
\pgfmathsetmacro{\yc}{-1} ;
\pgfmathsetmacro{\toxc}{\tixc} ;
\pgfmathsetmacro{\toyc}{\tiyc} ;
\pgfmathsetmacro{\tixd}{1} ;
\pgfmathsetmacro{\tiyd}{1} ;
\pgfmathsetmacro{\xd}{6} ;
\pgfmathsetmacro{\yd}{5} ;
\tkzInit[xmin=-2,xmax=6,ymax=6,ymin=-2]
\tkzAxeXY
\filldraw [gray,<->]
(\xa,\ya) circle [radius=2pt]
% (\xa + \toxa,\ya + \toya) circle [radius=2pt]
(\xb,\yb) circle [radius=2pt]
% (\xb-\tixb,\yb-\tiyb) circle [radius=2pt] --
% (\xb+\toxb,\yb+\toyb) circle [radius=2pt]
(\xc,\yc) circle [radius=2pt]
% (\xc-\tixc,\yc-\tiyc) circle [radius=2pt] --
% (\xc+\toxc,\yc+\toyc) circle [radius=2pt]
(\xd,\yd) circle [radius=2pt] ;
% (\xd-\tixd,\yd-\tixd) circle [radius=2pt] ;
\draw[red,line width=.8pt ,smooth]%
(\xa,\ya) .. controls +(\toxa,\toya) and (\xb-\tixb,\yb-\tiyb) ..
(\xb,\yb) .. controls +(\toxb,\toyb) and (\xc-\tixc,\yc-\tiyc) ..
(\xc,\yc) .. controls +(\toxc,\toyc) and (\xd-\tixd,\yd-\tiyd) ..
(\xd,\yd);
\draw [red] (\xd,\yd) node [below right] { $ \mathcal{C}_f $ } ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Donner l'ensemble de définition de la fonction $f$.
\item Quel est le minimum de cette fonction.
\item Sur l'intervalle $\intv{-1}{4}$, quel est le maximum de cette
fonction.
\item Résoudre graphiqument l'équation $f(x) = 2$.
\item Pour deux nombres $x$ et $y$ appartenant à l'intervalle
$\intv{2}{4}$, tels que $x < y$, que peut-on dire de leurs images
$f(x)$ et $f(y)$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
%https://math.stackexchange.com/questions/2032335/constructing-a-cubic-given-four-points?rq=1
\end{document}
\documentclass[a4paper,12pt,frenchb]{article}
\input{../commons.tex.inc}
\title{Identifier la variable et l'ensemble de définition de la fonction}
\author{Vincent-Xavier \bsc{Jumel}}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\begin{mdframed}
Une fonction est un processus qui, à un nombre d'un ensemble de départ (on
dit aussi de définition), associe un unique nombre dans un ensemble
d'arrivée.
Un ensemble de départ est :
\begin{itemize}
\item un des ensembles connus, comme $\N$ ou $\R$ ;
\item une partie de $\R$ -- on utilise la notation d'intervalle ;
\item une «collection» de nombres (ou d'autres choses).
\end{itemize}
\end{mdframed}
\begin{exercise}
Pour les fonctions suivantes, donner le nom de la variable et préciser
son ensemble de définition.
\begin{enumerate}
\item \begin{tabular}{|c|*{5}{c|}} \hline
$s$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
$f(s)$ & 1 & 3 & 0 & 2 & 4 \\ \hline
\end{tabular}
\item $f(t) = t^2 - 2t + 3$
\item \tikz{\tkzInit[xmax=2,ymax=2] \tkzDrawX[label={$h$}]
\tkzDrawY \tkzLabelXY \draw plot [domain=0.5:2,smooth] (\x,1/\x) ;}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Les langages de programmation comme Python disposent d'une fonction qui
donne le rang d'une lettre de l'alphabet. Pour une telle fonction,
indiquer quel serait son ensemble de définition et son ensemble d'arrviée.
\end{exercise}
\end{document}
\documentclass[a4paper,12pt,frenchb]{article}
\input{../commons.tex.inc}
\title{Multiplier des fractions}
\author{Vincent-Xavier \bsc{Jumel}}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\begin{mdframed}
Pour mulitplier des fractions, il suffit de multiplier les numérateurs
entre eux et les dénominateurs entre eux. \\
Exemple : \[ \frac34 \times \frac25 = \frac{3 \times 2}{4 \times 5} =
\frac{6}{20} . \] Il faut penser à simplifier dès que c'est possible et au
fur et à mesure.\\
Pour simplifier, il faut trouver un facteur commun au numérateur et au
dénominateur. Ici, $4 = 2\times 2$. Donc 2 est le plus grand facteur
commun et on a \[ \frac{3 \times 2}{4 \times 5} = \frac{3 \times 2}{2
\times 2 \times 5} = \frac{3}{10} . \]
Pour la division de deux fractions, on se ramène au cas précédent, en
considérant que \emph{diviser par une fraction, c'est multiplier par
l'inverse}. Ainsi, on a \[ \frac34 \div \frac25 = \frac34 \times \frac52
. \] On est alors ramené au cas précédent.
\end{mdframed}
\emph{Effectuer les calculs}
\tikz{
\pgfmathsetmacro{\numerateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\denominateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\numerateurb}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\denominateurb}{random(9)}
\draw (0,0) node {$\dfrac{\numerateura}{\denominateura} \times
\dfrac{\numerateurb}{\denominateurb} $}
} \ligne{1}
\tikz{
\pgfmathsetmacro{\numerateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\denominateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\numerateurb}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\denominateurb}{random(9)}
\draw (0,0) node {$\dfrac{\numerateura}{\denominateura} \times
\dfrac{\numerateurb}{\denominateurb} $}
} \ligne{1}
\tikz{
\pgfmathsetmacro{\numerateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\denominateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\numerateurb}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\denominateurb}{random(9)}
\draw (0,0) node {$\dfrac{\numerateura}{\denominateura} \times
\dfrac{\numerateurb}{\denominateurb} $}
} \ligne{1}
\tikz{
\pgfmathsetmacro{\numerateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\denominateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\numerateurb}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\denominateurb}{random(9)}
\draw (0,0) node {$\dfrac{\numerateura}{\denominateura} \times
\dfrac{\numerateurb}{\denominateurb} $}
} \ligne{1}
\tikz{
\pgfmathsetmacro{\numerateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\denominateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\numerateurb}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\denominateurb}{random(9)}
\draw (0,0) node {$\dfrac{\numerateura}{\denominateura} \div
\dfrac{\numerateurb}{\denominateurb} $}
} \ligne{1}
\tikz{
\pgfmathsetmacro{\numerateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\denominateura}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\numerateurb}{random(9)}
\pgfmathsetmacro{\denominateurb}{random(9)}
\draw (0,0) node {$\dfrac{\numerateura}{\denominateura} \div
\dfrac{\numerateurb}{\denominateurb} $}
} \ligne{1}
\end{document}
\documentclass[a4paper,12pt,frenchb]{article}
\input{../commons.tex.inc}
\title{Calculer avec des pourcentages}
\author{Vincent-Xavier \bsc{Jumel}}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\begin{mdframed}
Dire qu'une quantité $Q$ augmente de $p \%$, c'est dire qu'on ajoute $Q
\times \frac{p}{100}$. Après l'augmentation, on a alors $Q + Q \times
\frac{p}{100}$.
\noindent
Dire qu'une quantité $Q$ diminue de $p \%$, c'est dire qu'on retire $Q
\times \frac{p}{100}$. Après la diminution, on a alors $Q - Q \times
\frac{p}{100}$.
\end{mdframed}
\begin{exercise}
\begin{enumerate}
\item Un pull est à 15€ au mois de mars. Voyant le peu de vente, le
vendeur décide de faire un rabais de 12\%. Quel est le nouveau prix ?
\item Suite à un changement d'équipe municipale, celle ci décide
d'augmenter les impôts de 4\%. Pour un foyer payant 345€ quel est le
nouveau montant à payer ?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{mdframed}
Pour trouver le pourcentage de variation, on compare les quantités de
départ et d'arrivée. Ainsi, si une quantité varie de $D$ à $A$, la
variation s'exprime comme étant $\left(\dfrac{A}{D} - 1\right)\times 100$.
\end{mdframed}
\begin{exercise}
\begin{enumerate}
\item La concentration dans l'air d'une molécule est passée de 4,95 ppm
à 3,45 ppm. Quel est le pourcentage d'évolution ?
\item Cette année, la ville compte 60 salariés, alors que l'année
précédente, il n'y en avait que 50. Quel est l'évolution (en
pourcentage) du nombre de salariés.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{mdframed}
On peut utiliser aussi un pourcentage pour traduire une fréquence