Commit a466e967 authored by Vincent-Xavier JUMEL's avatar Vincent-Xavier JUMEL
Browse files

Suite du cours sur les intervalles de R


Signed-off-by: default avatarVincent-Xavier JUMEL <vincent-xavier.jumel@lasallesaintdenis.com>

Il manque encore principalement la résolution d'équation et d'inéquation
parent 6b87670e
Pipeline #298842 passed with stage
in 3 minutes and 30 seconds
......@@ -11,6 +11,12 @@
\tableofcontents[currentsection]
\end{frame}
}
\AtBeginSubsection[]
{
\begin{frame}
\tableofcontents[currentsubsection]
\end{frame}
}
}
% everyone:
\pgfdeclareimage{logo}{Pictures/logo}
......@@ -59,7 +65,7 @@
\pause
\begin{exemple}
L'ensemble $E$ des nombres pairs se note \pause
\[ E = \{ n | \text{« $n$ est divisible pas 2} \} \]
\[ E = \{ n | \text{« $n$ est divisible par 2} \} \]
\end{exemple}
\end{frame}
......@@ -85,6 +91,60 @@
\end{proposition}
\end{frame}
\subsection{Opération sur les ensembles}
\begin{frame}
\begin{definition}
On admet l'existence d'un ensemble qui ne contient rien. On l'appelle
\alert{ensemble vide} et on le note $ø$.
\end{definition}
\pause
\begin{remarque}
Il n'existe pas de plus grand ensemble qui contiendrait tous les
ensembles.
\end{remarque}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{definition}[Union]
Soient $E$ et $F$ deux ensembles.
On appelle \alert{union} de ces deux ensembles, notée $E \cup F$
l'ensemble constitué des éléments appartenant à $E$ \alert{ou} à $F$.
\end{definition}
\pause
\begin{exemple}
$E = \{1,3,5,7,9\}$ et $F = \{1,2,3,4\}$. Alors $E \cup F = \{1, 2, 3, 4,
5 , 7, 9\}$.
\end{exemple}
\pause
\begin{exemple}
$E = \{1,3,5,7,9\}$ et $F = \{1,3\}$. Alors $E \cup F = E$.\pause
Ici, $F \subset E$.
\end{exemple}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{definition}[Intersection]
Soient $E$ et $F$ deux ensembles.
On appelle \alert{intersection} de ces deux ensembles, notée $E \cap F$
l'ensemble constitué des éléments appartenant à $E$ \alert{et} à $F$.
\end{definition}
\pause
\begin{exemple}
$E = \{1,3,5,7,9\}$ et $F = \{1,2,3,4\}$. Alors $E \cap F = \{1, 3,\}$.
\end{exemple}
\pause
\begin{exemple}
$E = \{1,3,5,7,9\}$ et $F = \{2,4\}$. Alors $E \cap F = ø$.\pause
On dit que $E$ et $F$ sont disjoints.
\end{exemple}
\end{frame}
\subsection{Ensembles usuels}
\begin{frame}
......@@ -103,7 +163,7 @@
\begin{itemize}[<+->]
\item l'addition de deux entiers donne un entier
\item le produit de deux entiers donne un entier
\item la division fournit éventuellement un reste
\item la division de deux entiers fournit éventuellement un reste
\end{itemize}
\end{block}
\pause
......@@ -139,7 +199,7 @@
\item l'addition de deux entiers relatifs donne un entier relatif
\item la soustraction de deux entiers relatifs donne un entier relatif
\item le produit de deux entiers relatifs donne un entier relatif
\item la division fournit éventuellement un reste
\item la division de deux relatifs fournit éventuellement un reste
\end{itemize}
\end{block}
\pause
......@@ -211,21 +271,45 @@
\begin{frame}
\begin{proposition}
On a les inclusions suivantes : \[\uncover<1->{\N} \uncover<2->{\subset \Z}
\uncover<3->{\subset \Q} \uncover<4->{\subset \R .}
On a les inclusions suivantes :
\[
\uncover<1->{\textcolor{red}{\N}}
\uncover<2->{\subset \textcolor{blue}{\Z}}
\uncover<3->{\subset \textcolor{magenta}{\Q}}
\uncover<4->{\subset \textcolor{orange}{\R} .}
\]
\end{proposition}
\begin{block}{}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\uncover<1->{ \draw (0,0) ellipse (1 and 0.4) ; \draw (-0.5,0) node
{$\N$} ;}
\uncover<2->{\draw (1,0) ellipse (2 and 0.8) ; \draw (1.5,0) node
{$\Z$} ;}
\uncover<3->{\draw (2,0) ellipse (3 and 1.2) ; \draw (3.5,0) node
{$\Q$} ;}
\uncover<4->{\draw (3,0) ellipse (4 and 1.6) ; \draw (5.5,0) node
{$\R$} ;}
\uncover<1>{
\draw[red,fill=red!50] (0,0) ellipse (1 and 0.4) ;
\draw (-0.5,0) node {$\N$} ;
}
\uncover<2>{
\draw[blue,fill=blue!50] (1,0) ellipse (2 and 0.8) ;
\draw (1.5,0) node {$\Z$} ;
\draw[red,fill=red!50] (0,0) ellipse (1 and 0.4) ;
\draw (-0.5,0) node {$\N$} ;
}
\uncover<3>{
\draw[magenta,fill=magenta!50] (2,0) ellipse (3 and 1.2) ;
\draw (3.5,0) node {$\Q$} ;
\draw[blue,fill=blue!50] (1,0) ellipse (2 and 0.8) ;
\draw (1.5,0) node {$\Z$} ;
\draw[red,fill=red!50] (0,0) ellipse (1 and 0.4) ;
\draw (-0.5,0) node {$\N$} ;
}
\uncover<4>{
\draw[orange,fill=orange!50] (3,0) ellipse (4 and 1.6) ;
\draw (5.5,0) node {$\R$} ;
\draw[magenta,fill=magenta!50] (2,0) ellipse (3 and 1.2) ;
\draw (3.5,0) node {$\Q$} ;
\draw[blue,fill=blue!50] (1,0) ellipse (2 and 0.8) ;
\draw (1.5,0) node {$\Z$} ;
\draw[red,fill=red!50] (0,0) ellipse (1 and 0.4) ;
\draw (-0.5,0) node {$\N$} ;
}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{block}
......@@ -240,20 +324,131 @@
\item on peut mettre en correspondance $\N,\ \Z,\ \Q$ et même les
nombres irrationnels algébriques (il y'en a «autant»)
\item les nombres réels sont très compliqués à définir
\item leur création à suciter des débats parmi les mathématiciens,
comme Cantor, Dedekind ou Kronecker.
\item leur création a sucité des débats parmi les mathématiciens,
comme Cantor, Dedekind, Péano ou Kronecker.
\item les équations comme $x^2 = -1$ n'ayant de solutions réelles, on
a créé une unité imaginaire et le corps des nombres complexes
\item $\Z$, $\Q$ et $\R$ sont les modèles des structures algébriques
\item $\Z$, $\Q$ et $\R$ sont des modèles des structures algébriques
de groupe, anneau et corps.
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}
\section{Les ensemble des $\R$}
\section{Les sous-ensembles de $\R$}
\subsection{Les intervalles}
On a déjà vu que $\N$, $\Z$ et $\Q$ étaient des sous-ensembles de $\R$, on
va se poser la question de trouver d'autres sous-ensembles «simples» et
«cohérents», c'est à dire qui réprésentent des notions utiles et qui servent
à la résolution de problèmes.
\begin{frame}
\begin{definition}
Un intervalle est une partie connexe de $\R$, c'est à dire «sans trous».
\end{definition}
\pause
\begin{definition}
Un intervalle est donc représenté par un segment de la droite réelle.
\end{definition}
\pause
\begin{exemple}
On a représenté $I = [a;b] = \{ x | a ≤ x ≤ b \}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw [very thick,->,>=latex] (0,0) -- (10,0) ;
\draw [very thick,red] (3,0) node { \bfseries [ } -- (7,0) node {
\bfseries ] } ;
\draw[red] (3,0) node[below=5pt] {$a$} (7,0) node[below=5pt] {$b$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{definition}[ouvert]
On dit qu'un intervalle est ouvert lorsque les bornes ne sont pas
inclues
\end{definition}
\pause
\begin{exemple}
On a représenté $I = ]a;b[ = \{ x | a < x < b \}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw [very thick,->,>=latex] (0,0) -- (10,0) ;
\draw [very thick,red] (3,0) node { \bfseries ] } -- (7,0) node {
\bfseries [ } ;
\draw[red] (3,0) node[below=5pt] {$a$} (7,0) node[below=5pt] {$b$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{definition}[fermé]
On dit qu'un intervalle est fermé lorsque les bornes sont inclues
\end{definition}
\pause
\begin{exemple}
On a représenté $I = [a;b] = \{ x | a ≤ x ≤ b \}$
\pause
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw [very thick,->,>=latex] (0,0) -- (10,0) ;
\draw [very thick,red] (3,0) node { \bfseries [ } -- (7,0) node {
\bfseries ] } ;
\draw[red] (3,0) node[below=5pt] {$a$} (7,0) node[below=5pt] {$b$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}
\end{frame}
\begin{frame}{Intervalles bornés}
\begin{definition}
On dit qu'un intervalle est borné lorsqu'il admet une borne supérieure
et une borne inférieure.
\end{definition}
\pause
\begin{exemple}
$[-3 ; 2 [ = \{ x \in \R | x ≥ -3 \text{ et } x < 2\}$ est borné par -3
et 2.
\pause
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw [very thick,->,>=latex] (0,0) -- (10,0) ;
\draw [very thick,red] (3,0) node { \bfseries [ } -- (7,0) node {
\bfseries [ } ;
\draw[red] (3,0) node[below=5pt] {$-3$} (7,0) node[below=5pt] {$2$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}
\end{frame}
\begin{frame}{Intervalles non bornés}
\begin{definition}
On dit qu'un intervalle est non borné lorsqu'il ne possède ni borne
supérieure (majorant) ou ni borne inférieure (minorant).
\end{definition}
\pause
\begin{exemple}
$[-3 ; +\infty [ = \{ x \in \R | x ≥ -3 \}$ est minoré par -3
et non majoré dans la direction positive.
\pause
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw [very thick,->,>=latex] (0,0) -- (10,0) ;
\draw [very thick,red,->,>=latex] (3,0) node { \bfseries [ } -- (10,0) ;
\draw[red] (3,0) node[below=5pt] {$-3$} (10,0)
node[below right=1pt] {$+\infty$} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}
\end{frame}
\subsection{Résolution d'inéquation dans $\R$}
\begin{frame}
\end{frame}
\end{document}
Markdown is supported
0% or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Finish editing this message first!
Please register or to comment