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Ajout du cours et déplacement d'exercices


Signed-off-by: Vincent-Xavier JUMEL's avatarVincent-Xavier JUMEL <endymion@thetys-retz.net>
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......@@ -122,6 +122,92 @@ Les variations de la fonction carré permettent de comparer des nombres.
\end{itemize}
\end{proof}
\section{Fonction cube}
\subsection{Définion}
\begin{definition}
La fonction définie sur $\R$ par $f: \mapsto x^3$ s'appelle la
\textbf{fonction cube}.
\end{definition}
\subsection{Sens de variation de la fonction cube}
\begin{proposition}
La fonction cube est croissante sur $\R$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Soient $x$ et $y$ deux réels. On a $x^3 - y^3 = (x-y)( (x - \frac{1}4)^2 +
y^2)$. On en déduit que $x^3 - y^3$ est du signe de $x- y$ et donc
\begin{itemize}
\item $x ≤ y \implies x - y ≤ 0 \implies x^3 - y^30 \implies x^3 ≤ y^3
$
\item $x ≥ y \implies x - y ≥ 0 \implies x^3 - y^30 \implies x^3 ≥ y^3
$
\end{itemize}
\end{proof}
\section{Fonction racine carré}
\subsection{Définition de la fonction racine carré}
Sur $\R_+$, la fonction carré est croissante et chaque antécédent possède
exactement une et une seule image. On peut odnc, à chaque image, associer
son antécédent. On crée ainsi une nouvelle fonction, appellée
\textbf{fonction réciproque} de la fonction carré ou encore \textbf{fonction
racine carré}
\begin{definition}\label{def:racine_carre}
On appelle \textbf{fonction racine carré} la fonction, qui à tout nombre
positif $x$ associe le nombre positif $y$ tel que $y^2 = x$.
On le note $\sqrt{x}$
\end{definition}
\begin{remarque}
Le carré et la racine carré sont deux fonctions réciproques sur $\R_+$.
La racine carré s'obtient en tapant \texttt{$2nde+x^2$}
\end{remarque}
\begin{proposition}
Pour tout nombre positif réel, $\brk{\sqrt{x}}^2 = x$
\end{proposition}
\begin{proof}
Il faut relire la définition \ref{def:racine_carre}
\end{proof}
\begin{proposition}
Pour tout nombre réel $x$, $\sqrt{x^2} = \abs{x}$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Soit $x$ un nombre réel.
\begin{itemize}
\item Si $x ≥ 0$, on a $\sqrt{x^2} = x = \abs{x}$
\item Si $x < 0$, on a $\sqrt{x^2} = -x = \abs{x}$
% TODO: À développer
\end{itemize}
\end{proof}
On peut noter cette inégalité fondamentale, aussi connue sous le nom
d'inégalité triangulaire.
\begin{proposition}
$\forall (a,b) \in \intv[o]{0}{+\infty},\ \sqrt{a+b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}
$
\end{proposition}
\begin{proof}
On élève au carré à droite et à gauche et on raisonne par équivalences
successives.
% TODO: À rédiger
\end{proof}
\begin{savoirrediger}
On peut raisonner par équivalences successives, où toutes les propositions
sont logiquement équivalentes et donc la véracité de la première est
garantie par la véracité de la dernière.
\end{savoirrediger}
\section{Fonction inverse}
\subsection{Définition de la fonction inverse}
......
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