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Correction des écritures des ensembles



Signed-off-by: default avatarVincent-Xavier JUMEL <vincent-xavier.jumel@lasallesaintdenis.com>
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......@@ -127,7 +127,7 @@
\maketitle\\
\section{Définition}
Définir une \textcolor{red}{\textbf{fonction}} sur une partie D de $\mathbb{R}$ , c’est associer à tout nombre de D, un nombre et un seul.
Définir une \textcolor{red}{\textbf{fonction}} sur une partie D de $\R$ , c’est associer à tout nombre de D, un nombre et un seul.
On note : \\
$f : x\mapsto f(x)$ \hfill on lit : $f$ est la fonction qui à $x$ associe $f$ de $x$ \\
$x\mapsto y $ ou $f(x)=y$\\
......
......@@ -119,7 +119,7 @@
\maketitle\\
\section{Définition}
Définir une \textcolor{red}{\textbf{fonction}} sur une partie D de $\mathbb{R}$ , c’est associer à tout nombre de D, un nombre et un seul.
Définir une \textcolor{red}{\textbf{fonction}} sur une partie D de $\R$ , c’est associer à tout nombre de D, un nombre et un seul.
On note : \\
$f : x\mapsto f(x)$ \hfill on lit : $f$ est la fonction qui à $x$ associe $f$ de $x$ \\
$x\mapsto y $ ou $f(x)=y$\\
......
......@@ -143,7 +143,7 @@ quantitative\footnote{jusqu'à la fin de cette partie, on ne peut
traiter, mathématiquement que de ces séries}de façon générale. Convenons
de la noter $X$ dans son ensemble et ses éléments $x_1$, $x_2$, $x_3$,
…, $x_n$, où $n$ est un nombre entier naturel positif non
nul\footnote{on aurait pu écrire $n\in\mathbb{N}^*$}, sont des nombres
nul\footnote{on aurait pu écrire $n\in\N^*$}, sont des nombres
réels. On a $X := [ x_1, x_2, …, x_n ]$ sans que ces éléments ne soient
nécessairement ordonnés.
......
......@@ -143,7 +143,7 @@ quantitative\footnote{jusqu'à la fin de cette partie, on ne peut
traiter, mathématiquement que de ces séries}de façon générale. Convenons
de la noter $X$ dans son ensemble et ses éléments $x_1$, $x_2$, $x_3$,
…, $x_n$, où $n$ est un nombre entier naturel positif non
nul\footnote{on aurait pu écrire $n\in\mathbb{N}^*$}, sont des nombres
nul\footnote{on aurait pu écrire $n\in\N^*$}, sont des nombres
réels. On a $X := [ x_1, x_2, …, x_n ]$ sans que ces éléments ne soient
nécessairement ordonnés.
......
......@@ -127,17 +127,17 @@
\section{fonction affine}
\subsection{définition}
Soit $a$ et $b$ deux réels.\\
La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$ est une fonction affine.\\
La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$ est une fonction affine.\\
\begin{exemple}
\begin{itemize}
\item La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{x}{2}-3$ est une fonction affine avec $a=\dfrac{1}{2}$ et $b=-3$.
\item La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{x}{2}-3$ est une fonction affine avec $a=\dfrac{1}{2}$ et $b=-3$.
\item La fonction $f$ définie pour tout réel $x \ne 0$ par $f(x) = \dfrac{2}{x}-3$ n'est pas une fonction affine.
\end{itemize}
\end{exemple}
\subsubsection{cas particuliers}
\begin{itemize}
\item Dans le cas où $b=0$, la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax$ est appelée fonction linéaire.
\item Dans le cas où $a=0$, la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=b$ est une fonction constante.
\item Dans le cas où $b=0$, la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax$ est appelée fonction linéaire.
\item Dans le cas où $a=0$, la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=b$ est une fonction constante.
\end{itemize}
\subsection{proportionnalité des accroissements}
......@@ -146,9 +146,9 @@ $f$ est une fonction affine si, et seulement si, pour tous nombres réels distin
\begin{demonstration}
\begin{itemize}
\item Soit $f$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$.\\
\item Soit $f$ une fonction affine définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$.\\
Alors pour tous réels $x_1 \ne x_2$ on a : \[\dfrac{f\left( x_2 \right) - f\left( x_1 \right)}{x_2 - x_1} = \dfrac{a x_2 +b-ax_1 -b}{x_2 - x_1} = \dfrac{a \left(x_2 -x_1\right)}{x_2 - x_1} =a\]
\item Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ telle que, pour tous réels $x_1 \ne x_2$, on a \: $\dfrac{f\left( x_2 \right) - f\left( x_1 \right)}{x_2 - x_1} = a$.
\item Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ telle que, pour tous réels $x_1 \ne x_2$, on a \: $\dfrac{f\left( x_2 \right) - f\left( x_1 \right)}{x_2 - x_1} = a$.
Alors, en particulier pour tout réel $x \ne 0$ on a : \[\dfrac{f(x) - f(0)}{x-0} = \dfrac{f(x)-f(0)}{x} = a\]
D'où $f(x)-f(0)=ax$. Soit en notant l'image de 0 $f(0)=b$, on obtient pour tout réel $x$, $f(x)=ax+b$.
......@@ -164,13 +164,13 @@ Ainsi, $f(x)=-\dfrac{2}{3}x+b$. Or $f(3)=-1$ d'où \[\begin{split} -\dfrac{2}{3}
& \Leftrightarrow b =1
\end{split}\]
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-\dfrac{2}{3}x+1$.
$f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-\dfrac{2}{3}x+1$.
\end{exemple}
\subsection{variation}
Soit $a$ et $b$ deux réels.
\begin{itemize}
\item Si $a$ est positif, la fonction affine $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax+b$ est croissante.
\item Si $a$ est négatif, la fonction affine $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax+b$ est décroissante.
\item Si $a$ est positif, la fonction affine $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = ax+b$ est croissante.
\item Si $a$ est négatif, la fonction affine $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = ax+b$ est décroissante.
\end{itemize}
\begin{demonstration}
......@@ -200,7 +200,7 @@ Si $a$ est négatif :
\end{demonstration}
\subsection{signe de $ax+b$ avec $a \ne 0$}
Soit $f$ la fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)= ax+b$ avec $a \ne 0$.
Soit $f$ la fonction affine définie sur $\R$ par $f(x)= ax+b$ avec $a \ne 0$.
$f(x)$ est du signe de $a$ pour les valeurs de $x$ supérieures à $-\dfrac{b}{a}$.
......@@ -241,7 +241,7 @@ D'où le tableau du signe de $f(x)$
\subsection{courbe représentative}
Soit $a$ et $b$ deux réels.
La courbe représentative de la fonction affine $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$ est la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=ax+b$.
La courbe représentative de la fonction affine $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$ est la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=ax+b$.
\begin{multicols}{3}
$a<0$\\
......@@ -334,7 +334,7 @@ Pour étudier le signe d'un quotient :
\end{itemize}
\begin{exemple}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\dfrac{2x+7}{3x+2} \geqslant 2$
Résoudre dans $\R$ l'inéquation $\dfrac{2x+7}{3x+2} \geqslant 2$
Le quotient $\dfrac{2x+7}{3x+2}$ est défini pour tout réel $x$ tel que le dénominateur $3x+2 \ne 0$.
......
......@@ -127,17 +127,17 @@
\section{fonction affine}
\subsection{définition}
Soit $a$ et $b$ deux réels.\\
La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$ est une fonction affine.\\
La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$ est une fonction affine.\\
\begin{exemple}
\begin{itemize}
\item La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{x}{2}-3$ est une fonction affine avec $a=\dfrac{1}{2}$ et $b=-3$.
\item La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{x}{2}-3$ est une fonction affine avec $a=\dfrac{1}{2}$ et $b=-3$.
\item La fonction $f$ définie pour tout réel $x \ne 0$ par $f(x) = \dfrac{2}{x}-3$ n'est pas une fonction affine.
\end{itemize}
\end{exemple}
\subsubsection{cas particuliers}
\begin{itemize}
\item Dans le cas où $b=0$, la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax$ est appelée fonction linéaire.
\item Dans le cas où $a=0$, la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=b$ est une fonction constante.
\item Dans le cas où $b=0$, la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax$ est appelée fonction linéaire.
\item Dans le cas où $a=0$, la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=b$ est une fonction constante.
\end{itemize}
\subsection{proportionnalité des accroissements}
......@@ -152,17 +152,17 @@ Ainsi, $f(x)=-\dfrac{2}{3}x+b$. Or $f(3)=-1$ d'où \[\begin{split} -\dfrac{2}{3}
& \Leftrightarrow b =1
\end{split}\]
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-\dfrac{2}{3}x+1$.
$f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-\dfrac{2}{3}x+1$.
\end{exemple}
\subsection{variation}
Soit $a$ et $b$ deux réels.
\begin{itemize}
\item Si $a$ est positif, la fonction affine $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax+b$ est croissante.
\item Si $a$ est négatif, la fonction affine $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax+b$ est décroissante.
\item Si $a$ est positif, la fonction affine $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = ax+b$ est croissante.
\item Si $a$ est négatif, la fonction affine $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = ax+b$ est décroissante.
\end{itemize}
\subsection{signe de $ax+b$ avec $a \ne 0$}
Soit $f$ la fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)= ax+b$ avec $a \ne 0$.
Soit $f$ la fonction affine définie sur $\R$ par $f(x)= ax+b$ avec $a \ne 0$.
$f(x)$ est du signe de $a$ pour les valeurs de $x$ supérieures à $-\dfrac{b}{a}$.
......@@ -203,7 +203,7 @@ D'où le tableau du signe de $f(x)$
\subsection{courbe représentative}
Soit $a$ et $b$ deux réels.
La courbe représentative de la fonction affine $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$ est la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=ax+b$.
La courbe représentative de la fonction affine $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$ est la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=ax+b$.
\begin{multicols}{3}
$a<0$\\
......
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