Commit 6b87670e authored by Vincent-Xavier JUMEL's avatar Vincent-Xavier JUMEL
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Ajout du cours sur les ensemble et intervalle

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{
\begin{frame}
\tableofcontents[currentsection]
\end{frame}
}
}
% everyone:
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\title{Rappels sur les intervalles}
\author{Vincent-Xavier Jumel}
\institute{La Salle Saint-Denis}
\date{mai 2020}
\logo{\pgfuseimage{logo}}
\begin{document}
\mode*
\begin{frame}
\maketitle
\end{frame}
\begin{frame}
\tableofcontents[pausesections,hideallsubsections]
\end{frame}
\section{Généralités sur les ensembles}
\subsection{Défintion}
\begin{frame}
\begin{definition}
Un ensemble est une collection d'objets possédant une ou des propriétés
communes.
\end{definition}
\pause
\begin{remarque}
Certaines propriétés sont exclues.
\end{remarque}
\pause
\begin{exemple}
On considère l'ensemble $E$ des nombres pairs.
\end{exemple}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Notation}
On note un ensemble avec $E = \{x | p(x) \}$$p(x)$ est une
propriété s'appliquant à $x$.
\end{block}
\pause
\begin{exemple}
L'ensemble $E$ des nombres pairs se note \pause
\[ E = \{ n | \text{« $n$ est divisible pas 2} \} \]
\end{exemple}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Notation}
Lorsqu'un élément appartient à un ensemble, on note $x \in E$
\end{block}
\pause
\begin{definition}[inclusion]
Soient $E$ et $F$ deux ensembles.\\
Si, pour tout élément $x$ de $E$, $x \in F$, alors, on dit que $E$ est
\pause \alert{inclus} dans $F$.\pause
On note $E \subset F$.
\end{definition}
\pause
\begin{definition}[égalité d'ensemble]
Deux ensembles sont égaux, si et seulement si, ils contiennent les mêmes
éléments.
\end{definition}
\pause
\begin{proposition}
$E = F \iff E \subset F$ et $F\subset E$.
\end{proposition}
\end{frame}
\subsection{Ensembles usuels}
\begin{frame}
\begin{definition}
L'ensemble des nombres entiers naturels est réputé exister et est noté
$\N$.
\end{definition}
\pause
\begin{exemple}
$0, 1, 2, 3, 42$ sont des entiers naturels.
\end{exemple}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Opérations}
\begin{itemize}[<+->]
\item l'addition de deux entiers donne un entier
\item le produit de deux entiers donne un entier
\item la division fournit éventuellement un reste
\end{itemize}
\end{block}
\pause
\begin{block}{Division}
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels.\\
Alors il existe un unique couple $(q;r)$ tel que $a = b×q +r$, avec $0
r < b$
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Problème}
La soustraction des entiers naturels n'est pas toujours possible : $3-
5$, par exemple.
\end{block}
\pause
\begin{definition}
L'ensemble des nombres entiers relatifs est réputé exister et est noté
$\Z$.
\end{definition}
\pause
\begin{exemple}
\begin{itemize}[<+->]
\item $0, 1, 2, 3, 42$ sont des entiers naturels et relatifs.
\item $ -1, -2, -3, -42$ sont des entiers relatifs.
\end{itemize}
\end{exemple}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Opérations}
\begin{itemize}[<+->]
\item l'addition de deux entiers relatifs donne un entier relatif
\item la soustraction de deux entiers relatifs donne un entier relatif
\item le produit de deux entiers relatifs donne un entier relatif
\item la division fournit éventuellement un reste
\end{itemize}
\end{block}
\pause
\begin{block}{Division des relatifs}
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs.\\
Alors il existe un unique couple $(q;r)$ tel que $a = b×q +r$, avec $0
r < \abs{b}$, où $\abs{b}$ est la valeur absolue de $b$.
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Problème}
La division «complète» des nombres, de façon «exacte» n'est toujours pas
possible.
\end{block}
\pause
\begin{definition}
L'ensemble des quotients est réputé exister et est noté $\Q$.
\end{definition}
\pause
\begin{exemple}
\begin{itemize}[<+->]
\item $0, 1, 2, 3, 42$ sont des entiers naturels et relatifs et des
quotients.
\item $ -1, -2, -3, -42$ sont des entiers relatifs et des quotients.
\item $ \frac{1}{2}, -\frac{2}{3}, \frac{3}{42}, \frac{-42}{3}$ sont
des quotients.
\end{itemize}
\end{exemple}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Opérations}
\begin{itemize}[<+->]
\item l'addition de deux quotients donne un quotient
\item la soustraction de deux quotients donne un quotient
\item le produit de deux quotients donne un quotient
\item la division de deux quotients donne un quotient
\end{itemize}
\end{block}
\pause
\begin{block}{Résolution des équations}
Les équations du premier degré de la forme $ax + b = cx + d$, avec $a
≠ c$ ont pour solution $\frac{d -b}{a -c} \in \Q$
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Problème}
L'équation du second degré $x^2 = 2$ n'a pas de solution rationnelle.
\end{block}
\pause
\begin{definition}
L'ensemble des nombres réels est réputé exister et est noté $\R$.
\end{definition}
\pause
\begin{exemple}
\begin{itemize}[<+->]
\item $0, 1, 2, 3, 42$ sont des entiers naturels et relatifs et des
quotients et des réels.
\item $ -1, -2, -3, -42$ sont des entiers relatifs et des quotients et
des réels.
\item $ \frac{1}{2}, -\frac{2}{3}, \frac{3}{42}, \frac{-42}{3}$ sont
des quotients et des réels.
\item $\sqrt{2}$ et $-\pi$ sont des nombres réels.
\end{itemize}
\end{exemple}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{proposition}
On a les inclusions suivantes : \[\uncover<1->{\N} \uncover<2->{\subset \Z}
\uncover<3->{\subset \Q} \uncover<4->{\subset \R .}
\]
\end{proposition}
\begin{block}{}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\uncover<1->{ \draw (0,0) ellipse (1 and 0.4) ; \draw (-0.5,0) node
{$\N$} ;}
\uncover<2->{\draw (1,0) ellipse (2 and 0.8) ; \draw (1.5,0) node
{$\Z$} ;}
\uncover<3->{\draw (2,0) ellipse (3 and 1.2) ; \draw (3.5,0) node
{$\Q$} ;}
\uncover<4->{\draw (3,0) ellipse (4 and 1.6) ; \draw (5.5,0) node
{$\R$} ;}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{block}{Culture générale}
\begin{itemize}[<+->]
\item les nombres comme $\sqrt{2}$ qui sont solutions d'une équation à
coefficients rationnels sont dits irrationnels
\item les nombres comme $\pi$ sont dits transcendants
\item on peut mettre en correspondance $\N,\ \Z,\ \Q$ et même les
nombres irrationnels algébriques (il y'en a «autant»)
\item les nombres réels sont très compliqués à définir
\item leur création à suciter des débats parmi les mathématiciens,
comme Cantor, Dedekind ou Kronecker.
\item les équations comme $x^2 = -1$ n'ayant de solutions réelles, on
a créé une unité imaginaire et le corps des nombres complexes
\item $\Z$, $\Q$ et $\R$ sont les modèles des structures algébriques
de groupe, anneau et corps.
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}
\section{Les ensemble des $\R$}
\subsection{Les intervalles}
\subsection{Résolution d'inéquation dans $\R$}
\end{document}
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