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Ajout du devoir de probabilités

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\documentclass{scrartcl}
\usepackage{lycee}
\title{devoir première probabilités}
\author{Première C}
\date{17 janvier 2022}
\begin{document}
\maketitle
\begin{exercise}[print=false]
Le tableau suivant donne le groupe sanguin et le rh\'{e}sus de 200
individus d'une population.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
{Groupe}{Rhésus}& Rhésus $+$ & Rhésus $-$ \\
\hline
\textbf{Groupe O} & \centering 74 & \centering 12 \tabularnewline \hline
\textbf{Groupe A} & \centering 78 & \centering 12 \tabularnewline \hline
\textbf{Groupe B} & \centering 14 & \centering 4 \tabularnewline \hline
\textbf{Groupe AB} & \centering 4 & \centering 2 \tabularnewline \hline
\end{tabular}
\end{center}
Une personne du groupe O avec rh\'{e}sus n\'{e}gatif est un
donneur universel (il peut donner son sang \`{a} tous les autres).
On choisit au hasard une personne dans ce groupe.
Calculer la probabilit\'{e}~des \'{e}v\'{e}nements suivants :
\begin{itemize}
\item «La personne de ce groupe est un donneur universel» ;
\item «La personne appartient au groupe AB» ;
\item «La personne appartient au groupe O ou au groupe~A».
\end{itemize}
\end{exercise}
\begin{exercise}[print=false]
L’association artistique d’une commune propose deux activités :
peinture à l’huile et aquarelle. 60~\% des adhérents sont
inscrits au cours de peinture à l’huile, 35~\% au cours
d'aquarelle et 7~\% aux deux. On interroge un adhérent au hasard.
On note $H$ l’événement : « L’adhérent interrogé pratique la
peinture à l’huile » et $A$ l’événement : « L’adhérent interrogé
pratique \mbox{l’aquarelle} ».
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau des fréquences en pourcentages.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l*3{|c}|}
\hline
&$A$ & $\overline{A}$ & total \\\hline
H & & & 60 \\\hline
$\overline{H}$ & & & \\\hline
total & & & 100 \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Définir par une phrase les événements suivants et calculer
leurs probabilités.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $H \cap \overline{A}$ ;
\item $\overline{H} \cap A$ ;
\item $\overline{H} \cap \overline{A}$.\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}On considère deux évènements $A$ et $B$ tels que $P(A)=\nombre{0,1}$ et $P(A\cap B)=\nombre{0,06}$.
Calculer $P_A(B)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}[print=false]
On considère deux évènements $C$ et $D$ tels que $P(D)=\nombre{0,6}$ et $P(C\cap \overline{D})=\nombre{0,35}$.
Calculer $P_{\overline{D}}(C)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}[print=false]
On considère deux évènements disjoints $E$ et $F$ de probabilités non nulles.
Calculer $P_E(F)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}[print=false]
On considère deux évènements $A$ et $B$ tels que $P(A)=\nombre{0,37}$, $P(B)=\nombre{0,68}$ et $P(A\cup B)=\nombre{0,84}$.
Calculer :
\begin{enumerate}
\item $P_A(B)$
\item $P_B(A)$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[print=false]
On considère deux évènements $A$ et $B$ tels que $P(A)=\nombre{0,63}$ et $P_A(B)=\nombre{0,06}$. Calculer :
\begin{enumerate}
\item $P(A\cap B)$
\item $P\left(A\cap \overline{B}\right)$
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[print=false]
\begin{enumerate}
\item On considère deux évènements $R$ et $S$ tels que
$P(R)=\dfrac{1}{4}$, $P_R(S)=\dfrac{5}{6}$ et
$P_{\overline{R}}\left(\overline{S}\right)=\dfrac{11}{12}$.
Construire un arbre pondéré avec ces évènements $R$ et $S$.
\item Tao ne sait pas s'il lui reste de quoi préparer à manger dans son
réfrigérateur.
Il estime la probabilité que ce soit le cas à \np{0,8}.
\begin{itemize}
\item Dans ce cas (s'il a de quoi préparer à manger), il estime que
la probabilité que le repas qu'il se préparera soit bon est de
\np{0,65}.
\item Sinon, il ira dans son restaurant favori dans lequel il estime
que la probabilité que le repas servi soit bon est de
\np{0,99}.
\end{itemize}
Construire un arbre pondéré représentant la situation après avoir
explicité les notations des évènements apparaissant dans cet arbre.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}[print=false]
\begin{enumerate}
\item ~~
\begin{center}
\arbre{R}{S}{$\frac14$}{$\frac34$}
{$\frac56$}{$\frac16$}{$\frac1{12}$}{$\frac{11}{12}$}
\end{center}
\item On considère les évènements :
\begin{itemize}
\item $R$ : \og Tao a de quoi se préparer à manger dans son
réfrigérateur \fg
\item $B$ : \og Le repas est bon \fg\medskip
\end{itemize}
\begin{center}
{R}{B}{\np{0.8}}{\np{0.2}}
{\np{0.65}}{\np{0.35}}{\np{0.99}}{\np{0.01}}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[print=false]
Sur une chaîne de production d'un composant électronique, on effectue des tests qualité :
\begin{itemize}
\item Un premier examen visuel est effectué éliminant \np[\%]{5} des composants, qui sont détruits.
\item Les composants restants passent un test de fiabilité qui est réussi par \np[\%]{90} des composants qui sont alors mis en vente.
\item Parmi les composants n'ayant pas réussi le test de fiabilité, \np[\%]{30} peuvent être réparés facilement et mis en vente, le reste est détruit.
\end{itemize}
On prélève un composant au hasard sur cette chaîne.
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre de probabilité.
On notera $E$ l'événement \og le composant réussit l'examen
visuel \fg{}, $F$ \og le composant réussit le test de fiabilité
\fg{} et $V$ \og le composant est mis en vente \fg{}.
\item Calculer $P\left(\overline{F}\cap V\right)$, $P(V)$ et
$P_V\left(\overline{F}\right)$.
\item Un composant :
\begin{itemize}
\item coûte \np[€]{0,05} s'il est détruit ;
\item rapporte \np[€]{0.5} s'il est mis en vente sans
réparation et \np[€]{0,25} s'il est mis en vente après
réparation.
\end{itemize}
\vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
\item Donner la loi de probabilité de $X$, la variable
aléatoire donnant la somme algébrique rapportée par un
composant produit et éventuellement vendu.
\item Combien d'argent peut-on \og espérer \fg{} gagner par
composant ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
%\subsection{Indépendance}
\begin{exercise}[print=false]
On considère deux évènements indépendants $A$ et $B$ tels que
$P(A)=\nombre{0,15}$ et $P(A\cap B)=\nombre{0,085}$.
Calculer $P(B)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}[print=false]
On considère deux évènements indépendants $E$ et $F$ tels que
$P\left(\overline{F}\right)=\nombre{0,53}$ et
$P(E\cap F)=\nombre{0,25}$.
Calculer $P(E)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}[print=false]
On considère deux évènements indépendants $C$ et $D$ tels que
$P(C\cup D)=\nombre{0,23}$ et $P(C)=\nombre{0,11}$.
Calculer $P(D)$.
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Indépendants et incompatibles ?},print=false]
Deux évènements disjoints de probabilités non nulles peuvent-ils
être indépendants ?
\end{exercise}
\begin{exercise}[print=false]
Dans un magasin de meubles, il y a \np[\%]{55} de canapés dont \np[\%]{14} en
cuir, \np[\%]{30} de fauteuils dont \np[\%]{20} en cuir et le reste est
constitué de poufs dont \np[\%]{42} en cuir.
Un client se présente et choisit un meuble.
On considère les évènements :
\begin{itemize}
\item $F$ : \og le meuble choisi est un fauteuil \fg{} ;
\item $C$ : \og le meuble choisi est en cuir \fg.
\end{itemize}
Montrer que ces deux évènements sont indépendants.
\end{exercise}
\begin{exercise}[print=false]
Lily a dans sa poche deux pièces de 20 centimes, trois de 50 centimes et
une de 1 euro.
Elle tire successivement (sans remise) deux pièces de sa poche. Les
évènements \og les deux pièces sont du même montant \fg{} et \og les deux
pièces lui permettent d'acheter un croissant à 1 euro \fg{} sont-ils
indépendants ?
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Obstétrique--Question ouverte},print=false]
D'après l'\og Enquête nationale prénatale \fg{} de 2010 réalisée par
l'Inserm, la probabilité d'une grossesse donnant lieu à une naissance
prématurée en France est de \np[\%]{6,6} mais est accentuée par le fait que
la grossesse soit multiple (jumeaux, triplés, etc) ou non.
Plus précisément, cette probabilité est de \np[\%]{41,7} en cas de grossesse
multiple contre \np[\%]{5,5} sinon.
Déterminer la probabilité d'une grossesse multiple.
\end{exercise}
\begin{exercise}[print=false]
Un essai de laboratoire porte sur 35 cobayes et 15 rats. Après 5 jours,
40\% des cobayes sont malades, ainsi que 20\% des rats.
\begin{multicols}
{2}
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau ci-contre par des pourcentages.
\item Quel est, arrondi au dixième, le pourcentage de rats parmi les
animaux sains.
\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c}
& Cobayes & Rats & Total \\ \hline
Malades & & & \\ \hline
Sains & & & \\ \hline
Total & & & 100 \% \\
\end{tabular}
\end{center}
\end{multicols}
On choisit un animal au hasard. On note $M$ l'événement «l'animal» est
malade», et $C$ l'événement «l'animal est un cobaye».
\begin{enumerate}[resume]
\item Quelle est la probabilité que ce soit un cobaye malade ?
\item On constate que l'animal choisi est un cobaye. Quelle est la
probabilité, noté $P_C(M)$, qu'il soit malade ?
\item Imaginer une relation liant les probabilités $P(C \cap M)$,
$P_C(M)$ et $P(C)$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[print=false]
À la sortie d'une usine de fabrication, certains appareils sont
défectueux.
Ces appareils défectueux peuvent avoir deux types de panne. 30\% de ces
appareils ont une panne de type A, 40\% des appareils ont une panne de
type B et 3\% des appareils ont simultanément une panne de type A et de
type B.
Un appareil choisit au hasard parmi les appareils défectueux présente une
panne A. Quelle est la probabilité qu'il présente aussi une panne B.
\end{exercise}
\begin{exercise}[print=false]
Dans une population, 60\% des familles ont une voiture, 65\% des familles
ont un téléviseur et 24\% des familles n'ont ni voiture ni téléviseur.
On choisit au hasard une famille. On s'aperçoit qu'elle possède un
téléviseur. Calculer la probabilité qu'elle possède une voiture.
\end{exercise}
\begin{exercise}
La probabilité qu'un jeune réussisse l'examen du permis de conduire
l'année de ses 18 ans est de \np{0.625} et celle qu'il soit recçu au
baccalauréat la même année est de \np{0.82}.
De plus, la probabilité d'être à la fois reçu au baccalauréat et à
l'examen du permis de conduire la même année est de \np{0.56}.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un jeune soit reçu à au moins un des
deux examens.
\item Calculer la probabilité qu'il ne soit reçu à aucun des deux
examens.
\item Déterminer la probabilité qu'un jeune réussi au baccalauréat
sachant qu'il a déjà eu son permis de conduire la même année.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
\begin{wrapfigure}{r}{0.4\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[level distance=20mm,sibling distance=7mm]
\node {} [grow=right]
child[sibling distance=15mm] {
node {$\overline{A}$}
child[sibling distance=7mm] {
node {$\overline{B}$}
edge from parent node[below] { }
}
child[sibling distance=7mm] {
node {$B$}
edge from parent node[above] {$0,4$}
}
edge from parent node[below] { $P(\overline{A})$ }
}
child[sibling distance=15mm] { node {$A$}
child[sibling distance=7mm] {
node {$\overline{B}$}
edge from parent node[below] { }
}
child[sibling distance=7mm] {
node {$B$}
edge from parent node[above] { }
}
edge from parent node[above] { $0,1$ }
} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{wrapfigure}
Une expérience aléatoire est représentée par l'arbre pondéré ci-contre.\\
On sait de plus que $P(B) = 0,39$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'événement $A \cap B$.
\item En déduire la probabilité de $B$ sachant $A$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[print=false]
Tous les élèves d'une promotion ont passé un test de certification en
anglais.
\begin{itemize}
\item 80\% ont passé le test.
\item Parmi ceux qui ont réussi le test, 95\% le passaient pour la
1\up{ère} fois.
\item Parmi ceux qui ont échoué au test, 2\% le passaient pour la
1\up{ère} fois.
\end{itemize}
On considère les événements $R$ : « l'élève a réussi au test », et $F$ : «
l'élève a passé le test plusieurs fois».
\begin{enumerate}
\item Traduire l'énoncé en terme de probabilité, avec les notations
$P(R)$ et $P_R(F)$, …
\item Dresser un arbre pondéré décrivant la situation.
\item Calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard ait pensé le
test pour la première fois et l'ait réussi.
\item Déterminer la probabilité qu'un élève choisi au hasard ait passé
le test plusieurs fois.
\item On choisit au hasard un élève ayant passé plusieurs fois le test.
Quelle est la probabilité qu'il ait réussi.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[print=false]
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.
On note les événements $C$ «la carte tirée est un cœur», $A$ «la carte
tirée est un as», et $F$ «la carte tirée est une figure».
Calculer la probabilité de l'événement $A$ ainsi que les probabilités
conditionnelles $P_C(A)$ et $P_F(A)$. Interpréter les résultats.
\end{exercise}
\begin{exercise}[print=false]
On suppose que chacun des moteurs d'un avion bimoteur tombe en panne avec
une probabilité de $\np{0.0001}$ et ceci de façon indépendante de l'autre
moteur.
Quelle est probabilité que l'avion arrive à bon port, sachant qu'il peut
voler avec un seul moteur.
(\emph{Indication : quelle est la probabilité que l'avion n'arrive pas à
bon port ?})
\end{exercise}
\begin{exercise}[print=false]
Un atelier utilise 3 machines $M_1, M_2$ et $M_3$. La fabrication est
répartie suivant les machines, mais, selon la vétusté des machines, les
pièces présentent parfois des défauts :
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|} \hline
Machine & $M_1$ & $M_2$ & $M_3$ \\ \hline
Pièces fabriquées & 50 \% & 35 \% & 15\% \\ \hline
Défauts & 1 \% & 2 \% & 6 \% \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
On tire au hasard dans le stock et on recherche la probabilité pour que
cette pièce soit défectueuse.
On appelle $D$ l'événement «la pièce est défectueuse» et $M_i$ l'événement
«la pièce provient de la machine $M_i$» ($i = 1,2,$ ou $3$).
Décrire la situation par un arbre de probabilité (arbre pondéré), et
calculer la probabilité de l'événement $D$.
\end{exercise}
\begin{exercise}[print=false]
Dans une population, une personne sur quatre triche. Lorsqu'on fait tirer
une carte d'un jeu de 52 cartes à un tricheur, il tire à tous les coups un
as.
\begin{enumerate}
\item On demande à une personne au hasard de tirer une carte, qu'elle
est la probabilité qu'un as soit tiré ?
\item Un as a été tiré. Quelle est la probabilité que j'ai eu affaire à
un tricheur.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Formule de Bayes},print=true]
\begin{enumerate}
\item Soit $A$ et $B$ deux évenements de probabilités non nulles.
Démontrer que : \[ P_B(A) = \frac{P_A(B) × P(A)}{P_A(B) × P(A) +
P_{\overline{A}}(B) × P(\overline{A})} .
\]
\item Application
On dispose de 100 pièces de monnaies. Une pièce sur quatre est
truquée. Une pièce truquée indique Face avec une probabilité de
$\frac45$.
On choisit une pièce au hasard parmi les 100, on la lance et on
obtient Face. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une pièce
truquée.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Test de dépistage},print=false]
On définit, pour un test de dépistage d'une maladie :
\begin{itemize}
\item sa \emph{sensibilité} : la probabilité qu'il soit positif si la
personne est atteinte de maladie (vrai positif) ;
\item sa \emph{spécificité} : la probabilité qu'il soit négatif si la
personne est indemne de la maladie (vrai négatif) :
\item sa \emph{valeur diagnostique} (ou valeur prédictive positive) : la
probabilité que la personne soit réellement malade si son test est
positif.
\item sa valeur prédictive négative : la probabilité que la personne
n'ait pas la maladie si son test est négatif.
\end{itemize}
Les deux premières valeurs sont des valeurs caractérisant le test, du
point de vue du concepteur (laboratoire).
Les deux valeurs prédictives sont des valeurs caractérisant le test du
point de vue de l'utilisateur (patient, médecin).
Le fabricant du test fournit les caractéristiques suivantes :
\begin{itemize}
\item la probabilité qu'un individu malade ait un test positif est
\np{0.98} (sensibilité du test) ;
\item la probabilité qu'un individu non malade ait un test négatif est
\np{0.99} (spécificité du test).
\end{itemize}
On notera par la suite les événements $M$ : «l'individu est malade» et $T$
: «le test est positif».
\begin{enumerate}
\item On utilise ce test pour dépister une maladie qui touche 30\% de la
population.
\begin{enumerate}
\item Dresser un arbre de probabilité pondéré décrivant la
situation.
\item Calculer la probabilité de l'événement $T$.
\item Déterminer les valeurs prédictives positive et négative du
test.
\end{enumerate}
\item On suppose maintenant que la proportion de malade est $f$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer de même que précédemment les valeurs prédictives
positive et négative que l'on notera respectivement $G(f)$ et
$H(f)$.
\item Étudier les fonctions $G$ et $H$ et tracer l'allure de leur
courbe représentative.
\item Quel inconvénient majeure présente, dans une population, le
dépistage d'une maladie rare ? d'une maladie très commune ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\end{document}
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