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Ajout de la fin des exercices


Signed-off-by: Vincent-Xavier JUMEL's avatarVincent-Xavier JUMEL <vincent-xavier.jumel@ac-paris.fr>
parent 349cbebc
Pipeline #479778 failed with stages
in 13 minutes and 38 seconds
......@@ -263,7 +263,7 @@
& Cobayes & Rats & Total \\ \hline
Malades & & & \\ \hline
Sains & & & \\ \hline
Total & & & \\
Total & & & 100 \% \\
\end{tabular}
\end{center}
\end{multicols}
......@@ -316,6 +316,194 @@
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
\begin{wrapfigure}{r}{0.4\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[level distance=20mm,sibling distance=7mm]
\node {} [grow=right]
child[sibling distance=15mm] {
node {$\overline{A}$}
child[sibling distance=7mm] {
node {$\overline{B}$}
edge from parent node[below] { }
}
child[sibling distance=7mm] {
node {$B$}
edge from parent node[above] {$0,4$}
}
edge from parent node[below] { $P(\overline{A})$ }
}
child[sibling distance=15mm] { node {$A$}
child[sibling distance=7mm] {
node {$\overline{B}$}
edge from parent node[below] { }
}
child[sibling distance=7mm] {
node {$B$}
edge from parent node[above] { }
}
edge from parent node[above] { $0,1$ }
} ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{wrapfigure}
Une expérience aléatoire est représentée par l'arbre pondéré ci-contre.\\
On sait de plus que $P(B) = 0,39$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'événement $A \cap B$.
\item En déduire la probabilité de $B$ sachant $A$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
Tous les élèves d'une promotion ont passé un test de certification en
anglais.
\begin{itemize}
\item 80\% ont passé le test.
\item Parmi ceux qui ont réussi le test, 95\% le passaient pour la
1\up{ère} fois.
\item Parmi ceux qui ont échoué au test, 2\% le passaient pour la
1\up{ère} fois.
\end{itemize}
On considère les événements $R$ : « l'élève a réussi au test », et $F$ : «
l'élève a passé le test plusieurs fois».
\begin{enumerate}
\item Traduire l'énoncé en terme de probabilité, avec les notations
$P(R)$ et $P_R(F)$, …
\item Dresser un arbre pondéré décrivant la situation.
\item Calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard ait pensé le
test pour la première fois et l'ait réussi.
\item Déterminer la probabilité qu'un élève choisi au hasard ait passé
le test plusieurs fois.
\item On choisit au hasard un élève ayant passé plusieurs fois le test.
Quelle est la probabilité qu'il ait réussi.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}
On tire uen carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.
On note les événements $C$ «la carte tirée est un cœur», $A$ «la carte
tirée est un as», et $F$ «la carte tirée est une figure».
Calculer la probabilité de l'événement $A$ ainsi que les probabilités
conditionnelles $P_C(A)$ et $P_F(A)$. Interpréter les résultats.
\end{exercise}
\begin{exercise}
On suppose que chacun des moteurs d'un avion bimoteur tombe en panne avec
une probabilité de $\np{0.0001}$ et ceci de façon indépendante de l'autre
moteur.
Quelle est probabilité que l'avion arrive à bon port, sachant qu'il peut
voler avec un seul moteur.
(\emph{Indication : quelle est la probabilité que l'avion n'arrive pas à
bon port ?})
\end{exercise}
\begin{exercise}
Un atelier utilise 3 machines $M_1, M_2$ et $M_3$. La fabrication est
répartie suivant les machines, mais, selon la vétusté des machines, les
pièces présentent parfois des défauts :
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|} \hline
Machine & $M_1$ & $M_2$ & $M_3$ \\ \hline
Pièces fabriquées & 50 \% & 35 \% & 15\% \\ \hline
Défauts & 1 \% & 2 \% & 6 \% \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
On tire au hasard dans le stock et on recherche la probabilité pour que
cette pièce soit défectueuse.
On appelle $D$ l'événement «la pièce est défectueuse» et $M_i$ l'événement
«la pièce provient de la machine $M_i$» ($i = 1,2,$ ou $3$).
Décrire la situation par un arbre de probabilité (arbre pondéré), et
calculer la probabilité de l'événement $D$.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Dans une population, une personne sur quatre triche. Lorsqu'on fait tirer
une carte d'un jeu de 52 cartes à un tricheur, il tire à tous les coups un
as.
\begin{enumerate}
\item On demande à une personne au hasard de tirer une carte, qu'elle
est la probabilité qu'un as soit tiré ?
\item Un as a été tiré. Quelle est la probabilité que j'ai eu affaire à
un tricheur.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Formule de Bayes}]
\begin{enumerate}
\item Soit $A$ et $B$ deux évenements de probabilités non nulles.
Démontrer que : \[ P_B(A) = \frac{P_A(B) × P(A)}{P_A(B) × P(A) +
P_{\overline{A}}(B) × P(\overline{A})} .
\]
\item Application
On dispose de 100 pièces de monnaies. Une pièce sur quatre est
truquée. Une pièce truquée indique Face avec une probabilité de
$\frac45$.
On choisit une pièce au hasard parmi les 100, on la lance et on
obtient Face. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une pièce
truquée.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle{Test de dépistage}]
On définit, pour un test de dépistage d'une maladie :
\begin{itemize}
\item sa \emph{sensibilité} : la probabilité qu'il soit positif si la
personne est atteinte de maladie (vrai positif) ;
\item sa \emph{spécificité} : la probabilité qu'il soit négatif si la
personne est indemne de la maladie (vrai négatif) :
\item sa \emph{valeur diagnostique} (ou valeur prédicitve positive) : la
probabilité que la personne soit réellement malade si son test est
positif.
\item sa valeur prédicitve négative : la probabilité que la personne
n'ait pas la maladie si son test est négatif.
\end{itemize}
Les deux premières valeurs sont des valeurs caractérisant le test, du
point de vue du concepteur (laboratoire).
Les deux valeurs prédictives sont des valeurs caractérisant le test du
point de vue de l'utilisateur (patient, médecin).
Le fabricant du test fournit les caractéristiques suivantes :
\begin{itemize}
\item la probabilité qu'un individu malade ait un test positif est
\np{0.98} (sensibilité du test) ;
\item la probabilité qu'un individu non malade ait un test négatif est
\np{0.99} (spécificité du test).
\end{itemize}
On notera par la suite les événements $M$ : «l'individu est malade» et $T$
: «le test est positif».
\begin{enumerate}
\item On utilise ce test pour dépister une maladie qui touche 30\% de la
population.
\begin{enumerate}
\item Dresser un arbre de probabilité pondéré décrivant la
situation.
\item Calculer la probabilité de l'événement $T$.
\item Déterminer les valeurs prédictives positive et négative du
test.
\end{enumerate}
\item On suppose maintenant que la proportion de malade est $f$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer de même que précédemment les valeurs prédictives
positive et négative que l'on notera respectivement $G(f)$ et
$H(f)$.
\item Étudier les fonctions $G$ et $H$ et tracer l'allure de leur
courbe représentative.
\item Quel inconvénient majeure présente, dans une population, le
dépistage d'une maladie rare ? d'une maladie très commune ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
%\begin{exercise}[subtitle={D'après Bac (Pondichéry - 2013)}]
% Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité qu'un salarié soit
% absent durant une période d'épidémie de grippe.
......
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