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74b62b21
Commit
74b62b21
authored
Dec 11, 2021
by
Vincent-Xavier JUMEL
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Ajout de la correction d'un des problème de synthèse
Signed-off-by:
Vincent-Xavier JUMEL
<
vincent-xavier.jumel@ac-paris.fr
>
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c24eb75b
Pipeline
#467283
passed with stages
in 4 minutes and 59 seconds
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derivation/derivation_exercice4.tex
View file @
74b62b21
...
...
@@ -740,6 +740,124 @@
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
Soit
$
f
$
définie sur
$
\interfo
{
0
+
\infty
}$
par :
\[
f
(
x
)
=
x
(
\sqrt
{
x
}
-
1
)
^
2
.
\]
\begin{enumerate}
\item
$
f
(
\frac
{
1
}{
4
}
)
=
\frac
{
1
}{
4
}
(
\sqrt
{
\frac
{
1
}{
4
}}
-
1
)
^
2
=
\frac
{
1
}{
4
}
(
\frac
{
1
}{
2
}
-
1
)
^
2
=
\frac
{
1
}{
4
}
\frac
{
1
}{
4
}
=
\frac
{
1
}{
16
}$
.
\item
La fonction
$
f
$
est dérivable sur
$
\interoo
{
0
+
\infty
}$
car
$
x
\mapsto
x
$
et
$
\sqrt
{
⋅
}$
sont dérivables sur
$
\interoo
{
0
+
\infty
}$
\item
Démontrons que la fonction
$
f
$
est dérivable en
$
0
$
.
Il faut calculer le taux d'accroissement en 0. On peut remarquer que
$
f
(
0
+
h
)
-
f
(
0
)
=
f
(
h
)
=
h
(
\sqrt
{
h
}
-
1
)
^
2
$
et donc le taux
d'accroissement
$
\frac
{
f
(
0
+
h
)
-
f
(
0
)
}{
h
}
=
(
\sqrt
{
h
}
-
1
)
^
2
.
$
Quand
$
h
$
tend vers 0, ce taux tend vers
$
1
$
et donc la fonction est bien
dérivable en 0.
\item
Soit
$
x
\in
\interfo
{
0
+
\infty
}$
. Réécrivons
$
f
(
x
)
$
sous la forme
$
f
(
x
)
=
(
\sqrt
{
x
}
)
^
2
(
\sqrt
{
x
}
-
1
)
^
2
=
(
x
-
\sqrt
{
x
}
)
^
2
$
. On peut
dériver cette expression qui est sous la forme
$
u
^
2
(
x
)
$
et dont la
dérivée est
$
2
u'
(
x
)
u
(
x
)
$
. On a ici
$
u
(
x
)
=
x
-
\sqrt
{
x
}$
et donc
$
u'
(
x
)
=
1
-
\frac
{
1
}{
2
\sqrt
{
x
}}
=
\frac
{
2
\sqrt
{
x
}
-
1
}{
2
\sqrt
{
x
}}$
.
On a donc
$
f'
(
x
)
=
2
\frac
{
2
\sqrt
{
x
}
-
1
}{
2
\sqrt
{
x
}}
(
x
-
\sqrt
{
x
}
)
$
,
ce qui donne, en réécrivant
$
x
-
\sqrt
{
x
}$
sous la forme
$
\sqrt
{
x
}
(
\sqrt
{
x
}
-
1
)
$
le résultat attendu.
\item
$
2
\sqrt
{
x
}
-
1
≤
0
\iff
2
\sqrt
{
x
}
≤
1
\iff
\sqrt
{
x
}
≤
\frac
{
1
}{
2
}
\iff
x ≤
\frac
{
1
}{
4
}
$
.
\item
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit
{$
x
$
/1,
$
f'
(
x
)
$
/1, variation de
$
f
$
/3
}{
0,
$
\frac
{
1
}{
4
}$
, 1,
$
+
\infty
$}
\tkzTabLine
{
,+,z,-,z,+,
}
\tkzTabVar
{
-/0,+/
$
\frac
{
1
}{
16
}$
,-/0,+/
$
+
\infty
$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
L'équation de la tangente à
$
C
_
f
$
au point d'abscisse
$
4
$
est donnée
en appliquant la formule
$
y
=
f'
(
4
)(
x
-
4
)
+
f
(
4
)
$
, ce qui donne ici
$
y
=
3
(
x
-
4
)
+
4
\iff
y
=
3
x
-
9
$
\item
Déterminons, pour quels points d'abscisse
$
a
$
, la tangente à
$
\mathcal
{
C
}_
f
$
est parallèle à la droite d'équation
$
y
=
\frac
{
3
}{
8
}
x
$
.
Il s'agit de résoudre l'équation
$
f'
(
x
)
=
\frac
{
3
}{
8
}
x
\iff
(
\sqrt
{
x
}
-
1
)(
2
\sqrt
{
x
}
-
1
)
=
\frac
{
3
}{
8
}
x
\iff
2
x
-
3
\sqrt
{
x
}
+
1
=
\frac
{
3
}{
8
}
x
\iff
\frac
{
5
}{
8
}
x
-
3
\sqrt
{
x
}
+
1
=
0
\iff
5
x
-
24
\sqrt
{
x
}
+
8
=
0
$
.
On pose
$
X
=
\sqrt
{
x
}$
et l'équation précédent est
$
5
X
^
2
-
24
X
+
8
$
dont le discriminant est
$
\Delta
=
(
3
×
8
)
^
2
-
4
×
8
×
5
=
8
(
9
×
8
-
4
×
5
)
=
8
×
52
>
0
$
. On trouve
$
X
_
1
=
\frac
{
12
}{
5
}
-
\frac
{
2
\sqrt
{
26
}}{
5
}$
et
$
X
_
2
=
\frac
{
2
\sqrt
{
26
}}{
5
}
+
\frac
{
12
}{
5
}$
. En remarquant que
$
X
_
1
<
0
$
et
$
X
_
2
>
0
$
, on en déduit que
$
a
=
\sqrt
{
\frac
{
12
}{
5
}
+
\frac
{
2
\sqrt
{
26
}
}{
5
}}$
.
\item
Soit
$
D
_
m
$
les droites d'équations
$
y
=
mx
$
avec
$
m
\in
\R
$
.
\begin{enumerate}
\item
Il y a un point d'intersection de
$
D
_{
-
\frac
{
1
}{
6
}}$
avec
$
\mathscr
{
C
}_
f
$
.
\item
\leavevmode
\begin{center}
\begin{tabular}
{
l|c|c|c
}
Droite
&
$
D
_
0
$
&
$
D
_{
\frac
{
1
}{
6
}}$
&
$
D
_
1
$
\\
\hline
Intersections
&
2
&
3
&
2
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
[xscale=1.2,yscale=2.4,> = stealth']
\clip
(-1.1,-0.6) rectangle (4.2,4.1) ;
\draw
[very thin,gray!30!white] (-2,-2) grid[xstep = 1, ystep = 0.5] (6,4.3) ;
\draw
[very thick,->] (-7,0) -- (4.25, 0) ;
\draw
[very thick,->] (0,-1.2) -- (0,4.1) ;
\tikzstyle
{
every node
}
=[font=
\tiny
]
\draw
[gray]
(0, 0) node [below left]
{$
0
$}
;
\foreach
\e
in
{
0.5,1,...,4
}{
%
\draw
[gray]
(0,
\e
) node [left]
{$
\pgfmathprintnumber
[
use
comma, precision
=
1
,fixed
]
{
\e
}$
}
;
}
;
\foreach
\e
in
{
1,2,...,4
}{
%
\draw
[gray]
(
\e
, 0) node [below]
{$
\np
{
\e
}$
}
;
}
\draw
[gray]
(0, 0) node [below left]
{$
\np
{
0
}$
}
;
\draw
[name path=courbe1, thick]
plot[smooth,samples=100,domain=0:6] (
\x
,
{
\x*
(sqrt(
\x
) - 1)*(sqrt(
\x
) - 1
}
) ;
\draw
[thick] plot[smooth,samples=100,domain=0:6] (
\x
,
{
-1/6*
\x
}
) ;
\draw
[thick] plot[smooth,samples=100,domain=0:6] (
\x
,
{
1/6*
\x
}
) ;
\draw
[thick] plot[smooth,samples=100,domain=0:6] (
\x
,
{
0*
\x
}
) ;
\draw
[thick] plot[smooth,samples=100,domain=0:6] (
\x
,
{
1*
\x
}
) ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item
Déterminons, suivant les valeurs de
$
m
$
, le nombre de point
d'intersection de
$
\mathcal
{
C
}_
f
$
et de
$
D
_
m
$
.
Il faut résoudre
$
f
(
x
)
=
mx
$
, c'est à dire, pour
$
x ≠
0
$
(qui donne
toujours une solution) l'équation
$
(
\sqrt
{
x
}
-
1
)
^
2
=
m
\iff
(
\sqrt
{
x
}
-
1
)
^
2
-
m
$
.
Pour
$
m <
0
$
, cette équation n'a pas de solution.
Pour
$
m
=
0
$
, la seule solution est
$
x
=
1
$
Pour
$
m >
0
$
, l'équation admet la factorisation
$
(
\sqrt
{
x
}
-
1
-
\sqrt
{
m
}
)(
\sqrt
{
x
}
-
1
+
\sqrt
{
m
}
)
$
qui ne possède que réellement
deux solutions en
$
x
$
que pour
$
1
-
\sqrt
{
m
}
>
0
$
, c'est à dire
quand
$
m <
1
$
.
\begin{center}
\begin{tabular}
{
|l|c|
}
\hline
$
m
$
&
Nombre de points d'intersections
\\
\hline
$
m <
0
$
&
1
\\
\hline
$
m
=
0
$
&
2
\\
\hline
$
0
< m <
1
$
&
3
\\
\hline
$
m ≥
1
$
&
2
\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{solution}
...
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