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Ajout de la correction d'un des problème de synthèse


Signed-off-by: Vincent-Xavier JUMEL's avatarVincent-Xavier JUMEL <vincent-xavier.jumel@ac-paris.fr>
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......@@ -740,6 +740,124 @@
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
Soit $f$ définie sur $\interfo{0 +\infty}$ par :
\[
f(x) = x(\sqrt{x} - 1)^2
.\]
\begin{enumerate}
\item $f(\frac{1}{4}) = \frac{1}{4}(\sqrt{\frac{1}{4}} - 1)^2 =
\frac{1}{4}(\frac{1}{2} -1 )^2 = \frac{1}{4}\frac{1}{4} = \frac{1}{16}$.
\item La fonction $f$ est dérivable sur $\interoo{0
+\infty}$ car $x \mapsto x$ et $\sqrt{}$ sont dérivables sur
$\interoo{0 +\infty}$
\item Démontrons que la fonction $f$ est dérivable en $0$.
Il faut calculer le taux d'accroissement en 0. On peut remarquer que
$f(0 + h) - f(0) = f(h) = h(\sqrt{h}-1)^2$ et donc le taux
d'accroissement $\frac{f(0+ h) - f(0)}{h} = (\sqrt{h}-1)^2.$ Quand $h$
tend vers 0, ce taux tend vers $1$ et donc la fonction est bien
dérivable en 0.
\item Soit $x \in \interfo{0 +\infty}$. Réécrivons $f(x)$ sous la forme
$f(x) = (\sqrt{x})^2(\sqrt{x} - 1)^2 = (x - \sqrt{x})^2$. On peut
dériver cette expression qui est sous la forme $u^2(x)$ et dont la
dérivée est $2u'(x) u(x)$. On a ici $u(x) = x - \sqrt{x}$ et donc
$u'(x) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x}}$.
On a donc $f'(x) = 2\frac{2\sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x}}(x - \sqrt{x})$,
ce qui donne, en réécrivant $x - \sqrt{x}$ sous la forme
$\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)$ le résultat attendu.
\item $2\sqrt{x} - 10 \iff 2\sqrt{x}1 \iff \sqrt{x}\frac{1}{2}
\iff x ≤ \frac{1}{4} $.
\item
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1, $f'(x)$/1, variation de $f$/3}{0, $\frac{1}{4}$, 1, $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
\tkzTabVar{-/0,+/$\frac{1}{16}$,-/0,+/$+\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
L'équation de la tangente à $C_f$ au point d'abscisse $4$ est donnée
en appliquant la formule $y = f'(4)(x - 4) + f(4)$, ce qui donne ici
$y = 3(x - 4) + 4 \iff y = 3x - 9$
\item Déterminons, pour quels points d'abscisse $a$, la tangente à
$\mathcal{C}_f$ est parallèle à la droite d'équation $y =
\frac{3}{8}x$.
Il s'agit de résoudre l'équation $f'(x) = \frac{3}{8}x \iff
(\sqrt{x} - 1)(2\sqrt{x} - 1) = \frac{3}{8} x \iff 2x - 3 \sqrt{x} + 1
= \frac{3}{8} x \iff \frac{5}{8} x - 3 \sqrt{x} + 1 = 0 \iff 5x -
24\sqrt{x} + 8 = 0$.
On pose $X = \sqrt{x}$ et l'équation précédent est $5X^2 - 24 X + 8$
dont le discriminant est $\Delta = (3×8)^2 - 4×8×5 = 8(9×8 - 4×5) =
8×52 > 0$. On trouve $X_1 = \frac{12}{5} - \frac{2 \sqrt{26}}{5}$
et $X_2 = \frac{2 \sqrt{26}}{5} + \frac{12}{5}$. En remarquant que
$X_1 < 0$ et $X_2 > 0$, on en déduit que $a =
\sqrt{\frac{12}{5}+\frac{2\sqrt{26} }{5}}$.
\item Soit $D_m$ les droites d'équations $y = mx$ avec $m \in \R$.
\begin{enumerate}
\item Il y a un point d'intersection de $D_{-\frac{1}{6}}$ avec
$\mathscr{C}_f$.
\item \leavevmode
\begin{center}
\begin{tabular}{l|c|c|c}
Droite & $D_0$ & $D_{\frac{1}{6}}$ & $D_1$ \\ \hline
Intersections & 2 & 3 & 2
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1.2,yscale=2.4,> = stealth']
\clip (-1.1,-0.6) rectangle (4.2,4.1) ;
\draw [very thin,gray!30!white] (-2,-2) grid[xstep = 1, ystep = 0.5] (6,4.3) ;
\draw [very thick,->] (-7,0) -- (4.25, 0) ;
\draw [very thick,->] (0,-1.2) -- (0,4.1) ;
\tikzstyle{every node}=[font=\tiny]
\draw[gray] (0, 0) node [below left] {$0$} ;
\foreach \e in {0.5,1,...,4}{%
\draw[gray] (0, \e) node [left] {$\pgfmathprintnumber[use
comma, precision=1,fixed]{\e}$ } ;
} ;
\foreach \e in {1,2,...,4}{%
\draw[gray] (\e, 0) node [below] {$\np{\e}$ } ;
}
\draw[gray] (0, 0) node [below left] {$\np{0}$ } ;
\draw [name path=courbe1, thick]
plot[smooth,samples=100,domain=0:6] (\x, {\x*(sqrt(\x) - 1)*(sqrt(\x) - 1}) ;
\draw [thick] plot[smooth,samples=100,domain=0:6] (\x, {-1/6*\x}) ;
\draw [thick] plot[smooth,samples=100,domain=0:6] (\x, {1/6*\x}) ;
\draw [thick] plot[smooth,samples=100,domain=0:6] (\x, {0*\x}) ;
\draw [thick] plot[smooth,samples=100,domain=0:6] (\x, {1*\x}) ;
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item Déterminons, suivant les valeurs de $m$, le nombre de point
d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et de $D_m$.
Il faut résoudre $f(x) = mx$, c'est à dire, pour $x ≠ 0$ (qui donne
toujours une solution) l'équation $(\sqrt{x} - 1)^2 = m \iff
(\sqrt{x} - 1)^2 - m$.
Pour $m < 0$, cette équation n'a pas de solution.
Pour $m = 0$, la seule solution est $x = 1$
Pour $m > 0$, l'équation admet la factorisation $(\sqrt{x} - 1 -
\sqrt{m} )(\sqrt{x} - 1 + \sqrt{m} )$ qui ne possède que réellement
deux solutions en $x$ que pour $1 - \sqrt{m} > 0$, c'est à dire
quand $m < 1$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|} \hline
$m$ & Nombre de points d'intersections \\ \hline
$m < 0$ & 1 \\ \hline
$m = 0$ & 2 \\ \hline
$0 < m < 1 $ & 3 \\ \hline
$m ≥ 1$ & 2 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{solution}
......
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